Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) По условию $AA_1E:EA=3:1$ и $AA_1=16$, значит $A_1E=12,\ EA=4$. Аналогично $B_1F:FB=3:5$ даёт $B_1F=6,\ FB=10$.

Плоскости $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны, а плоскость $EFD_1$ пересекает их по параллельным прямым $ED_1$ и $FT$ (где $T$ — точка пересечения с $B_1C_1$). Из параллельности $ED_1\parallel FT$ следует подобие треугольников $EA_1D_1$ и $FB_1T$ (углы при $A_1$ и $B_1$ равны как углы между ребром и стороной прямоугольника). Так как $EA_1=A_1D_1=12$, из подобия получаем $FB_1=B_1T=6$. Тогда $TC_1=B_1C_1-B_1T=12-6=6$, то есть $B_1T:TC_1=1:1$ — сечение делит $B_1C_1$ пополам.

б) Линия пересечения плоскости $EFD_1$ с плоскостью $AA_1B_1$ — прямая $EF$ (обе точки лежат в этой грани). Так как $AD\perp AB$ и $AD\perp AA_1$, ребро $A_1D_1\perp$ плоскости $AA_1B_1B_1$, значит $A_1D_1\perp EF$. Опустим $A_1H\perp EF$ в плоскости $AA_1B_1B$; по теореме о трёх перпендикулярах $D_1H\perp EF$, поэтому угол $A_1HD_1$ — искомый линейный угол двугранного угла.

В прямоугольной трапеции $EA_1B_1F$ ($EA_1=12,\ B_1F=6,\ A_1B_1=5\sqrt2$) опустим высоту $FK\perp EA_1$: $FK=A_1B_1=5\sqrt2$, а $EK=EA_1-FB_1=6$. Тогда $$EF=\sqrt{FK^2+EK^2}=\sqrt{(5\sqrt2)^2+6^2}=\sqrt{86}.$$

Площадь треугольника $EFA_1$ можно посчитать двумя способами: через основание $EA_1$ и высоту $FK$, и через основание $EF$ и высоту $A_1H$: $$A_1H\cdot EF=A_1E\cdot FK\ \Rightarrow\ A_1H=\frac{FK\cdot A_1E}{EF}=\frac{5\sqrt2\cdot12}{\sqrt{86}}=\frac{60}{\sqrt{43}}.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $A_1HD_1$ (с прямым углом при $A_1$, так как $A_1D_1\perp$ плоскости $AA_1B_1$): $$\tan\angle A_1HD_1=\frac{A_1D_1}{A_1H}=\frac{12}{\;60/\sqrt{43}\;}=\frac{\sqrt{43}}{5}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{\sqrt{43}}{5}$.