Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскости $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны (это противоположные грани параллелепипеда). Секущая плоскость $ETD_1$ пересекает обе эти плоскости, а линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Значит, прямая, проходящая через $T$ в плоскости $BCC_1B_1$ и параллельная $ED_1$, пересечёт ребро $BB_1$ в некоторой точке $F$, и $EFTD_1$ — сечение с $ED_1\parallel FT$. Из подобия треугольников $D_1A_1E$ и $TB_1F$ (углы при $A_1$ и $B_1$ прямые, стороны параллельны) следует $\dfrac{D_1E}{TF}=\dfrac{D_1A_1}{TB_1}=2$, то есть $D_1E\ne FT$ — основания разной длины, а $EF$ и $D_1T$ не параллельны им. Значит, $EFTD_1$ — трапеция.

б) Введём точку $M$ — пересечение прямых $D_1T$ и $A_1B_1$ (в плоскости верхней грани). Так как $T$ — середина $B_1C_1$, по теореме о пересечении диагонали с продолжением стороны (из подобия треугольников) получаем $A_1M=2A_1B_1=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2$.

В прямоугольном треугольнике $D_1A_1M$ (угол при $A_1$ прямой, так как это угол прямоугольника верхней грани) катеты $A_1D_1=4$ и $A_1M=6\sqrt2$. Тогда гипотенуза $$D_1M=\sqrt{4^2+(6\sqrt2)^2}=\sqrt{16+72}=\sqrt{88}=2\sqrt{22}.$$

Высота $A_1H$, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, находится по формуле произведения катетов, делённого на гипотенузу: $$A_1H=\frac{A_1D_1\cdot A_1M}{D_1M}=\frac{4\cdot 6\sqrt2}{2\sqrt{22}}=\frac{24\sqrt2}{2\sqrt{22}}=\frac{12\sqrt{11}}{11}.$$

Прямая $D_1M$ — линия пересечения плоскостей $ETD_1$ и $A_1B_1C_1$ (так как обе точки $D_1$ и $M$ лежат в обоих плоскостях). Отрезок $EA_1$ перпендикулярен плоскости $A_1B_1C_1$ (ребро параллелепипеда), поэтому $A_1H$ — проекция $EH$ на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах, если $A_1H\perp D_1M$, то и $EH\perp D_1M$. Значит, угол $EHA_1$ — линейный угол искомого двугранного угла.

Так как $A_1E:EA=5:2$, то $A_1E=\dfrac{5}{7}AA_1=\dfrac{5}{7}\cdot14=10$.

В прямоугольном треугольнике $EA_1H$ (угол при $A_1$ прямой, так как $EA_1\perp$ плоскости): $$\tan\angle EHA_1=\frac{EA_1}{A_1H}=\frac{10}{\dfrac{12\sqrt{11}}{11}}=\frac{10\cdot 11}{12\sqrt{11}}=\frac{110}{12\sqrt{11}}=\frac{55}{6\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{6}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{5\sqrt{11}}{6}$.