Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Радиус цилиндра $R=10$, высота (образующая) $h=28$.

Шаг 1. Найдём расстояния от центров оснований до хорд по теореме Пифагора для полухорды: для хорды 12 — $\sqrt{R^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8$; для хорды 16 — $\sqrt{R^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6$. Эти отрезки — серединные перпендикуляры к хордам, лежащие в основаниях.

Шаг 2. Спроецируем обе хорды на одно основание вдоль оси цилиндра. Расстояние между проекциями серединных перпендикуляров равно либо $8+6=14$ (если они направлены в разные стороны от оси), либо $8-6=2$ (если в одну сторону).

Шаг 3. Расстояние между хордами в пространстве складывается из «горизонтального» смещения проекций и «вертикального» смещения на высоту $h=28$ (эти направления перпендикулярны, поэтому применима теорема Пифагора): $$d=\sqrt{28^2+14^2}\quad\text{или}\quad d=\sqrt{28^2+2^2}=\sqrt{784+4}=\sqrt{788}=2\sqrt{197}.$$ По условию реализуется именно второй вариант ($2\sqrt{197}$), значит проекции перпендикуляров лежат по одну сторону от оси. Это означает, что ось цилиндра не пересекает секущую плоскость внутри цилиндра, то есть оба центра оснований находятся по одну сторону от неё — что и требовалось доказать.

Шаг 4. Для угла между плоскостями возьмём точку $B$ — конец перпендикуляра длины 8 (в основании с хордой 12), точку $A$ — конец перпендикуляра длины 6 (в другом основании), и точку $H$ — проекцию $A$ на первое основание вдоль оси (тогда $AH=28$ и $AH\perp$ основанию). Так как хорды параллельны (являются проекциями друг друга), отрезки $AB$ и $AH$ лежат в плоскости, перпендикулярной хордам, а значит перпендикулярны линии пересечения секущей плоскости с основанием. Поэтому угол $\angle ABH$ — искомый линейный угол между плоскостями.

Поскольку случай реализовался «в одну сторону», $BH=8-6=2$. По определению тангенса: $$\tan\angle ABH=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{28}{2}=14.$$

Ответ: $\angle ABH=\arctan 14$.