Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Пусть $O$ — центр диагоналей грани $AA_1B_1B$ (значит, середина $AB_1$ и $A_1B$), $N$ — середина $CC_1$. Плоскость $\alpha$ пересекает $AB$ в точке $P$ и $BC$ в точке $T$; тогда $O,N,P,T$ лежат в одной плоскости. Прямая $ON$ лежит в плоскости, параллельной основанию, поэтому $ON\parallel PT$, а так как $ON\perp AA_1B_1B$, то и вся плоскость $\alpha$, а значит и плоскость основания, перпендикулярны $AA_1B_1B$. Отсюда угол между $\alpha$ и основанием равен $\angle OPA=45^\circ$. Через точку $K\in AB$ проведём $KQ\parallel AA_1$ ($Q\in A_1B_1$); из прямоугольного треугольника с углом $45^\circ$ получаем $KP=KQ=2$, откуда $AK=1$, $PB=1$. Пусть $H$ — середина $AB$; $CH\parallel OH\parallel PT$, значит $HP=PB$, и по теореме Фалеса $TC=TB$ — то есть $T$ совпадает с серединой $BC$, точкой $M$.

б) Введём координаты с началом в $M$: $M(0,0,0)$, $N(2,0,1)$, $A(0,2\sqrt3,0)$, $B_1(-2,0,2)$, $O(-1,\sqrt3,1)$.

Плоскость $AB_1M$: из условий $d=0,\ 2\sqrt3 b=0,\ -2a+2c=0$ получаем уравнение $x+z=0$, нормаль $\vec n_1(1;0;1)$.

Плоскость $\alpha$ (через $M,N,O$): из $d=0,\ 2a+c=0,\ -a+\sqrt3 b+c=0$ получаем $x+\sqrt3 y-2z=0$, нормаль $\vec n_2(1;\sqrt3;-2)$.

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями: $$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac{|1-2|}{\sqrt2\cdot\sqrt8}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arccos\dfrac14$.