ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Угол между плоскостями

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Теорема о трёх перпендикулярахТеорема Пифагора

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точки M, N, K делят ребра AA1, BB1, DD1 в отношении 1 : 4, 1 : 5, 1 : 3, считая от нижнего основания ABCD.

а)  Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC1 в отношении 13 : 47, считая от нижнего основания.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания равна корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , а высота равна  60.

В подтеме 57 задач
Разбор
Главная идея: Найти линию пересечения плоскости сечения с плоскостью основания как прямую PQ (через подобные треугольники в боковых гранях), затем построить линейный угол с помощью теоремы о трёх перпендикулярах и вычислить его тангенс через длину высоты AH, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника APQ.

а) (кратко, для понимания идеи). Через точки M, N, K строится сечение MNK, которое пересекает CC₁ в точке L. Диагонали получившегося четырёхугольника KLNM делятся пополам в точке O (это свойство параллелограмма — противоположные стороны параллельны, так как лежат в параллельных плоскостях боковых граней призмы). Через вспомогательные отрезки, параллельные диагоналям основания BD и AC, находят расстояния DR=BN=h/6, CS=AM=h/5, а затем через средние линии треугольников NRK и MSL получают SL=h/60. Складывая, CL=CS+SL=13h/60, а LC₁=CC₁−CL=47h/60, то есть CL:LC₁=13:47. Это подтверждает утверждение пункта а).

б) Угол между плоскостями. При h=60 получаем конкретные длины отрезков: BN=h6=10, AM=h5=12, DK=h4=15BN=\dfrac{h}{6}=10,\ AM=\dfrac{h}{5}=12,\ DK=\dfrac{h}{4}=15.

Линия пересечения плоскости сечения MNK и плоскости основания ABCD — это прямая PQ, где P — точка пересечения прямых AB и MN (в плоскости ABB₁A₁), а Q — точка пересечения AD и MK (в плоскости ADD₁A₁). Именно вдоль PQ «встречаются» две плоскости, поэтому угол между ними нужно искать в плоскости, перпендикулярной PQ.

Из подобия треугольников QAM и QDK (они подобны, так как AM∥DK, обе перпендикулярны основанию): QAQA+AD=AMDK=1215=45⇒QA=413.\frac{QA}{QA+AD}=\frac{AM}{DK}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\Rightarrow QA=4\sqrt{13}.

Аналогично из подобия треугольников PBN и PAM: PBPB+AB=BNAM=1012=56⇒PB=513, PA=613.\frac{PB}{PB+AB}=\frac{BN}{AM}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\Rightarrow PB=5\sqrt{13},\ PA=6\sqrt{13}.

Поскольку угол A между AP и AQ равен 90° (стороны квадрата), по теореме Пифагора: PQ=PA2+QA2=(613)2+(413)2=468+208=676=26.PQ=\sqrt{PA^2+QA^2}=\sqrt{(6\sqrt{13})^2+(4\sqrt{13})^2}=\sqrt{468+208}=\sqrt{676}=26.

Опустим из M перпендикуляр MH на прямую PQ (M лежит в боковой грани, перпендикулярной основанию через AM). По теореме о трёх перпендикулярах проекция AH этого перпендикуляра на плоскость основания тоже перпендикулярна PQ, значит угол MHA — искомый линейный угол между плоскостями.

AH — высота прямого угла A в треугольнике APQ, опущенная на гипотенузу PQ: AH=PA⋅QAPQ=613⋅41326=24⋅1326=12.AH=\frac{PA\cdot QA}{PQ}=\frac{6\sqrt{13}\cdot4\sqrt{13}}{26}=\frac{24\cdot13}{26}=12.

Теперь в прямоугольном треугольнике MHA (AM перпендикулярен основанию, значит и AH): tan⁡∠MHA=AMAH=1212=1⇒∠MHA=45∘.\tan\angle MHA=\frac{AM}{AH}=\frac{12}{12}=1\Rightarrow \angle MHA=45^\circ.

Значит, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 45°.

Типичные ошибки

  • Неверное определение точек P и Q — путают, какие прямые пересекаются с продолжениями сторон MN и MK, из-за чего линия пересечения плоскостей строится неверно.
  • Забывают применить теорему о трёх перпендикулярах, чтобы обосновать, что именно угол MHA (а не какой-то другой) является линейным углом между плоскостями.
  • Ошибки в подобии треугольников при нахождении отношений PB:PA и QA:QD — путают, какая сторона делится в каком отношении, что даёт неверные длины отрезков PQ и AH.
Непонятно?

Похожие задачи