Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Точки M и K — середины боковых рёбер SA и SC, поэтому MK — средняя линия треугольника ASC, а значит $MK\parallel AC$.

Пирамида правильная, значит основание ABCD — квадрат с центром O, и SO — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости ABC. Тогда проекцией наклонной SB на плоскость основания служит отрезок OB. В квадрате диагонали перпендикулярны, поэтому $OB\perp AC$.

По теореме о трёх перпендикулярах (если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная ей перпендикулярна) получаем $SB\perp AC$. Так как $MK\parallel AC$, то $SB\perp MK$, что и требовалось доказать.

б) Пусть Q — середина MK. Поскольку M и K — середины SA и SC, отрезок MK лежит в плоскости, параллельной SO, и его середина Q проецируется в середину высоты SO, то есть $QO=\frac12 SO$.

Так как $MK\parallel AC$, а $OB\perp AC$, то и $OB\perp MK$. Проведём $BQ\perp MK$ — тогда прямая MK перпендикулярна обеим прямым BQ и BO, лежащим в разных плоскостях (BMK и ABC), значит угол QBO — линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями.

Найдём стороны треугольника QBO.

Половина диагонали квадрата: $BO=\dfrac{AB\sqrt2}{2}\cdot2=4\sqrt2$ (так как диагональ квадрата $AB\sqrt2=8\sqrt2$, а O — её середина).

Боковое ребро SB равно SC (в правильной пирамиде все боковые рёбра равны), то есть $SB=6$.

Из прямоугольного треугольника SOB: $SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{36-32}=2$.

Тогда $QO=\dfrac12 SO=1$.

В прямоугольном треугольнике QBO угол при вершине B ищем через тангенс: $\tan\angle QBO=\dfrac{QO}{BO}=\dfrac{1}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{8}$.

Следовательно, угол между плоскостями BMK и ABC равен $\arctan\dfrac{\sqrt2}{8}$.