Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $SA$ и $SD$ треугольника $SAD$, значит это средняя линия: $KM\parallel AD$ и $KM=\dfrac12 AD$.

В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна большой диагонали $AD$ (противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны), а по длине $BC=\dfrac12 AD$ (диагональ через центр вдвое больше стороны).

Значит $KM\parallel BC$ и $KM=BC$ — четырёхугольник $BCKM$ параллелограмм, поэтому $BK\parallel CM$, а значит эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Диагональ $AD$ проходит через центр основания $O$, поэтому $O$ — середина $AD$, а значит прямая $SO$ лежит в плоскости $SAD$. Пусть $N=SO\cap KM$. Так как $KM$ — средняя линия треугольника $SAD$, она делит медиану $SO$ пополам: $N$ — середина $SO$, то есть $SO=2ON$.

Через $O$ проведём прямую $QT\perp BC$ ($Q\in BC$). Тогда $OQ$ — апофема шестиугольника со стороной 6: $$OQ=\frac{\sqrt3}{2}\cdot BC=3\sqrt3.$$

Так как $SO\perp$ основания, $ON\perp$ основания, а $OQ\perp BC$ — по теореме о трёх перпендикулярах $NQ\perp BC$. Значит угол $NQO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $\alpha$ и основанием, и он равен $60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $NOQ$: $$ON=OQ\cdot\tan 60^\circ=3\sqrt3\cdot\sqrt3=9.$$

Тогда высота пирамиды: $$SO=2ON=18.$$