Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Возьмём сторону основания $AB=3a$, тогда боковое ребро $SA=6a$. Из пункта а) известно, что плоскость $\alpha$ пересекает $AS$ в точке $X$ с $AX:XS=1:5$, то есть $AX=a$.

1. Найдём проекцию $X$ на плоскость основания. Так как $X$ лежит на $AS$, а $O$ — центр основания (проекция $S$), проекция $H$ точки $X$ лежит на $AO$ с тем же отношением: $\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{AX}{AS}=\dfrac16$. По теореме Пифагора в треугольнике $SAO$: $SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=3\sqrt3\,a$ (учитывая $AO=3a$ для правильного шестиугольника). Тогда высота точки $X$ над плоскостью: $XH=\dfrac16 SO=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

2. Линия пересечения $\alpha$ с плоскостью основания проходит через $N$ и точку $Q$ (пересечение $EN$ с $AB$, найденную в пункте а)). Зная $AQ=a$, $AN=\dfrac32a$ и $\angle NAQ=60^\circ$, по теореме косинусов находим $NQ=\dfrac{a\sqrt7}{2}$, а затем из теоремы косинусов в треугольнике $ANQ$ — $\sin\angle ANQ=\sqrt{\dfrac37}$.

3. Опустим из $H$ перпендикуляр $HR$ на прямую $NQ$ (линию пересечения плоскостей). Так как $HN=\dfrac23AN=a$, то $HR=HN\sin\angle ANQ=a\sqrt{\dfrac37}$.

4. Угол между плоскостями $\beta$ определяется как угол между перпендикуляром $XH$ (к основанию) и $HR$ (к линии пересечения), поскольку $XH\perp$ основание, а $HR\perp NQ$ в основании — значит $XR\perp NQ$, и $\beta=\angle XRH$. Тогда $\tan\beta=\dfrac{XH}{HR}=\dfrac{\frac{a\sqrt3}{2}}{a\sqrt{3/7}}=\dfrac{\sqrt7}{2}$.

Отсюда $\beta=\arctan\dfrac{\sqrt7}{2}$.