Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскость $MKC$ делит пирамиду на $MAKC$ и $MBKC$. У обеих одна и та же вершина $M$, значит высота из $M$ до плоскости $ABC$ у них общая, и объёмы пропорциональны площадям оснований $AKC$ и $BKC$. Эти треугольники имеют общую высоту из $C$, поэтому их площади относятся как основания: $S_{AKC}:S_{BKC}=AK:KB=5:1$. Значит, и объёмы пирамид относятся как $5:1$.

б) Пусть $L$ — середина $AB$. Тогда $AL=LB=3$, а так как $AK=5,\;KB=1$, то $LK=AK-AL=2$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CL=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3$, причём $CL\perp AB$. Из прямоугольного $\triangle CLK$: $CK=\sqrt{CL^2+LK^2}=\sqrt{27+4}=\sqrt{31}$.

По условию $\triangle MKC$ — равнобедренный с основанием $MK$, значит $MC=CK=\sqrt{31}$, а так как пирамида правильная, все боковые рёбра равны: $MA=MB=MC=\sqrt{31}$.

Треугольники $AMC$ и $BMC$ равны (стороны $MA=MB$, $AC=BC$, $MC$ — общая). В $\triangle AMC$ высота из вершины $M$ падает в середину $AC$: $CH=3$, $MH=\sqrt{MC^2-CH^2}=\sqrt{31-9}=\sqrt{22}$, тогда площадь $S=\frac12\cdot AC\cdot MH=3\sqrt{22}$.

Ту же площадь в $\triangle BMC$ выразим через сторону $MC$ и высоту $BN$ из $B$: $S=\frac12\cdot MC\cdot BN$, откуда $BN=\dfrac{6\sqrt{22}}{\sqrt{31}}=\dfrac{6\sqrt{682}}{31}$.

Из симметрии пирамиды относительно плоскости $MCL$ (она переводит $A\leftrightarrow B$, а прямая $MC$ лежит в этой плоскости) основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $MC$, совпадает с $N$, причём $AN=BN$. Значит угол $\angle ANB$ — это в точности линейный угол двугранного угла при ребре $MC$, то есть искомый угол между гранями.

$NL$ — медиана (и высота) равнобедренного $\triangle ANB$, поэтому $\angle ANB=2\angle BNL$. В прямоугольном $\triangle BNL$: $\sin\angle BNL=\dfrac{BL}{BN}=\dfrac{3}{\frac{6\sqrt{682}}{31}}=\dfrac{31}{2\sqrt{682}}=\dfrac{\sqrt{682}}{44}$.

Отсюда искомый угол равен $2\arcsin\dfrac{\sqrt{682}}{44}$.