Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Обозначим площадь основания призмы через $S$, а высоту призмы (боковое ребро) через $h$. Объём всей призмы равен $V=Sh$.

Пирамида $AA_1BC$ имеет основанием треугольник $ABC$ (площадь $S$) и вершину $A_1$, высота которой равна высоте призмы $h$, так как $AA_1\parallel$ боковому ребру. По формуле объёма пирамиды $V_{AA_1BC}=\dfrac13Sh$.

Остальная часть призмы — это пирамида $A_1BCC_1B_1$, её объём равен разности объёма призмы и объёма отрезанной пирамиды: $$V_{A_1BCC_1B_1}=Sh-\dfrac13Sh=\dfrac23Sh=2\cdot\dfrac13Sh=2V_{AA_1BC}.$$ Что и требовалось доказать.

б) Пусть $H$ — середина ребра $BC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $AH\perp BC$ (медиана равностороннего треугольника — высота). Так как $\triangle A_1BC$ равнобедренный ($A_1B=A_1C$ по симметрии призмы), $A_1H\perp BC$ тоже. Значит, угол $\angle A_1HA$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $A_1BC$ и $ABC$ (основанием призмы).

Из прямоугольного треугольника $AA_1B$ (диагональ боковой грани $A_1B=\sqrt5$, сторона $AB=2$): $$AA_1=\sqrt{A_1B^2-AB^2}=\sqrt{5-4}=1.$$

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $AH$ находится из прямоугольного треугольника $AHB$: $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3$.

В прямоугольном треугольнике $HAA_1$ (прямой угол при $A$, так как $AA_1\perp$ плоскости основания): $$\tan\angle A_1HA=\dfrac{AA_1}{AH}=\dfrac{1}{\sqrt3}.$$ Отсюда $\angle A_1HA=30^\circ$.