Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Пусть $H$ — середина $AB$. В равностороннем треугольнике медиана $CH$ является и высотой, поэтому $CH\perp AB$. Так как $AK=\frac34AB$, то $KB=\frac14AB$, а $HB=\frac12AB$, значит $HK=HB-KB=\frac14AB=KB$ — то есть $K$ есть середина $HB$. Тогда $KL$ — средняя линия треугольника $CHB$ (соединяет середины $HB$ и $CB$), значит $KL\parallel CH$, а следовательно $KL\perp AB$.

Плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, а плоскость $\alpha$ пересекает их по прямым $KL$ и $MN$, поэтому эти прямые параллельны: $MN\parallel KL$. Так как $KL\perp AB$, то и $MN\perp AB$.

б) Пусть $AB=8x$ (все ребра призмы равны $8x$). Тогда $AK=6x$, $KB=2x$, и $K$ — середина $HB$ ($HK=2x$). Обозначим через $M', N'$ проекции $M,N$ на плоскость основания — это середины отрезков $LC$ и $HK$ соответственно, поэтому $N'K=x$, $M'L=2x$.

Поскольку боковое ребро призмы равно $8x$, из прямоугольных треугольников с вертикальным катетом $8x$ находим наклонные стороны пространственного четырёхугольника: $$NK=\sqrt{64x^2+x^2}=\sqrt{65}\,x,\qquad ML=\sqrt{64x^2+4x^2}=2\sqrt{17}\,x.$$

Используя углы $60^\circ$ равносторонних треугольников оснований (по теореме косинусов) для отрезков $KB=2x, LB=4x$ и $B_1M=6x, B_1N=3x$, получаем $$KL=2\sqrt3\,x,\qquad NM=3\sqrt3\,x.$$

Площадь проекции четырёхугольника $KLMN$ на основание (трапеция $KLM'N'$) находим как разность площадей двух треугольников с углом $60^\circ$: $$S_{KLM'N'}=\frac12\sin60^\circ(6x\cdot3x-4x\cdot2x)=\frac{5\sqrt3}{2}x^2.$$

Чтобы найти площадь самой (пространственной) трапеции $KLMN$ с основаниями $KL=2\sqrt3x$ и $NM=3\sqrt3x$, ищем её высоту. Введя вспомогательный отрезок $t$ и используя равенство высот, опущенных из $M$ и $N$, получаем уравнение $$68x^2-t^2=65x^2-(3\sqrt3x-2\sqrt3x-t)^2,$$ откуда $t=\sqrt3\,x$, а высота трапеции $$h=\sqrt{68x^2-3x^2}=\sqrt{65}\,x.$$ Тогда $$S_{KLMN}=\frac{KL+NM}{2}\cdot h=\frac{5\sqrt3}{2}x\cdot\sqrt{65}x=\frac{5\sqrt{195}}{2}x^2.$$

По теореме о площади проекции $\cos\varphi=\dfrac{S_{KLM'N'}}{S_{KLMN}}$: $$\cos\varphi=\frac{\frac{5\sqrt3}{2}x^2}{\frac{5\sqrt{195}}{2}x^2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{195}}=\frac{1}{\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{65}}{65}.$$

Значит, $\varphi=\arccos\dfrac{\sqrt{65}}{65}$.