Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Так как основание — квадрат, $AB\parallel CD$, а значит плоскость $\alpha$ (содержащая $AB$) пересекает плоскость $SCD$ по прямой $MN$, параллельной $CD$. Тогда $\triangle SMN\sim\triangle SCD$ (по двум углам), а коэффициент подобия равен $\dfrac{MN}{CD}=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{MN}{5MN}=\dfrac15$. Отсюда $SM:SC=SN:SD=1:5$, значит $SM:MC=SN:ND=1:4$, так как боковые ребра правильной пирамиды равны ($SC=SD$).

б) Пусть $MN=x$, тогда $AB=AN=BM=5x$. Четырёхугольник $ANMB$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AB=5x$, $MN=x$ и боковыми сторонами $5x$. Опустим высоту на большее основание: половина разности оснований равна $2x$, поэтому по теореме Пифагора высота $h=\sqrt{(5x)^2-(2x)^2}=\sqrt{21}\,x$. Площадь трапеции $$S=\frac{AB+MN}{2}\cdot h=3x\cdot\sqrt{21}x=3\sqrt{21}x^2.$$

Теперь спроецируем трапецию $ANMB$ ортогонально на плоскость основания. Вершина $S$ проектируется в центр квадрата $O$, поэтому точки $N,M$ переходят в точки $N',M'$, лежащие на диагоналях $DB$ и $CA$, причём отношения отрезков сохраняются: $DN':DO=SN:SD=1:5$ и аналогично для $M'$. Считая длину диагонали квадрата $AB\sqrt2=5x\sqrt2$, получаем $BN'=AM'=3x\sqrt2$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, площадь проекции — четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $$S_{пр}=\frac12\cdot BN'\cdot AM'=\frac12\left(3x\sqrt2\right)^2=9x^2.$$

Площадь ортогональной проекции фигуры равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями: $$\cos\varphi=\frac{S_{пр}}{S}=\frac{9x^2}{3\sqrt{21}x^2}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

Таким образом, косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания равен $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.