Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Опустим высоту $CO$ тетраэдра на плоскость $ABD$, её длину обозначим $h$. Все три пирамиды $CABD$, $CAMK$ и остаток $CMKDB$ имеют вершину $C$ и лежат по одну сторону от плоскости $ABD$, поэтому их объёмы пропорциональны площадям оснований: $V=\frac13 h\cdot S$.

Треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABD$ с коэффициентом $k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$ (общий угол $A=60^\circ$, стороны пропорциональны). Значит $\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABD}}=k^2=\dfrac{9}{25}$.

Отсюда $\dfrac{V_{CAMK}}{V_{ABCD}}=\dfrac{9}{25}$, а оставшаяся часть тетраэдра составляет $1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ от общего объёма. Значит объёмы двух частей относятся как $\dfrac{16}{25}:\dfrac{9}{25}=16:9$, что и требовалось.

б) Так как $AM/AB=AK/AD$, по обратной теореме Фалеса $MK\parallel BD$, поэтому прямая пересечения плоскостей $CMK$ и $CBD$ — это прямая $l$, проходящая через $C$ параллельно $BD$.

Пусть $A_1$ — середина $MK$, $A_2$ — середина $BD$. Треугольники $AMK$ и $ABD$ равнобедренные, поэтому медианы $CA_1$ и $CA_2$ (проведённые к основаниям) являются и высотами, то есть $CA_1\perp MK$ и $CA_2\perp BD$, а значит и $CA_1\perp l$, $CA_2\perp l$. Тогда искомый угол между плоскостями равен $\angle A_1CA_2$.

Из подобия прямоугольных треугольников $MAA_1$ и $BAA_2$ (коэффициент $k=3/5$) и того, что $AA_2=\dfrac{\sqrt3}{2}AB=5\sqrt3$ (высота равностороннего треугольника со стороной 10), получаем $AA_1=\dfrac{\sqrt3}{2}AM=3\sqrt3$, а $A_1A_2=AA_2-AA_1=2\sqrt3$.

Все грани тетраэдра равносторонние, поэтому $CA_2=AA_2=5\sqrt3$. По теореме косинусов в $\triangle AA_2C$: $$\cos\angle AA_2C=\frac{AA_2^2+CA_2^2-AC^2}{2\cdot AA_2\cdot CA_2}=\frac{75+75-100}{150}=\frac13.$$

Применяя теорему косинусов в $\triangle CA_1A_2$ находим $CA_1$: $$CA_1^2=A_1A_2^2+CA_2^2-2\cdot A_1A_2\cdot CA_2\cos\angle AA_2C=12+75-20=67,\quad CA_1=\sqrt{67}.$$

Наконец, по теореме косинусов для $\triangle A_1CA_2$: $$\cos\angle A_1CA_2=\frac{CA_1^2+CA_2^2-A_1A_2^2}{2\cdot CA_1\cdot CA_2}=\frac{67+75-12}{2\sqrt{67}\cdot5\sqrt3}=\frac{130}{10\sqrt{201}}=\frac{13\sqrt{201}}{201}.$$