Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть ребро куба равно $2a$ — так удобнее считать корни. Тогда диагональ грани $ABCD$ равна $2a\sqrt2$, а $AO$ — половина диагонали, значит $DM=D_1N=AO=a\sqrt2$.

а) Ребро $AD$ перпендикулярно и $DC$, и $DD_1$, значит $AD\perp$ плоскости $DCC_1$. Поэтому отрезок $MD$ перпендикулярен этой плоскости, а $DN$ — проекция $MN$ на неё. Значит искомый угол — это $\angle MND$, причём треугольник $MDN$ прямоугольный с прямым углом при $D$. В треугольнике $DD_1N$ также прямой угол при $D_1$, поэтому $DN=\sqrt{DD_1^2+D_1N^2}=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt6$. Тогда $$\tan\angle MND=\frac{MD}{DN}=\frac{a\sqrt2}{a\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt3},$$ откуда $\angle MND=30^\circ$.

б) Точки $M$ и $O$ лежат в плоскости основания $ABCD$, поэтому прямая $MO$ целиком в этой плоскости. Продолжим её до пересечения с $BC$ в точке $K$ и с продолжением $DC$ в точке $L$. Из подобия треугольников (по свойству средней линии, так как $O$ — центр квадрата) находим $BK=a\sqrt2$, а тогда $CK=(2-\sqrt2)a$. Из подобия треугольников $MDL$ и $KCL$ составляем пропорцию $\dfrac{x+2a}{a\sqrt2}=\dfrac{x}{(2-\sqrt2)a}$, где $x=LC$. Решая, получаем $x=a\sqrt2$. Тогда $D_1NLC$ — параллелограмм, значит $NL\parallel DC_1$, а сама прямая $DC_1$ перпендикулярна линии пересечения плоскостей $MNO$ и $DCC_1$. Пусть $E$ — точка пересечения $DC_1$ и $NL$: тогда $\angle MED$ — линейный угол искомого двугранного угла. Из подобия находим $C_1E=\dfrac{C_1N}{\sqrt2}=\dfrac{(2-\sqrt2)a}{\sqrt2}=(\sqrt2-1)a$, а $DE=DC_1-C_1E=2\sqrt2a-(\sqrt2-1)a=(1+\sqrt2)a$. Тогда $$\tan\angle MED=\frac{MD}{DE}=\frac{a\sqrt2}{(1+\sqrt2)a}=2-\sqrt2.$$ Следовательно, искомый угол равен $\arctan(2-\sqrt2)$.