Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Почему M — середина B1C1. В трапеции KLMC основания LM и KC параллельны по определению трапеции. Так как ребро $B_1C_1\parallel BC$, а точки $L,M$ и $K,C$ лежат на этих рёбрах, отрезки $B_1M$ и $BC$ также параллельны, значит угол $\angle LMB_1=\angle KCB$ как соответственные при параллельных прямых. Кроме того, $\angle LB_1M=\angle KBC=90^\circ$ (ребра параллелепипеда перпендикулярны). Значит, треугольники $LB_1M$ и $KBC$ подобны, и коэффициент подобия равен отношению оснований трапеции: $$\frac{B_1M}{BC}=\frac{LM}{KC}=\frac12 \;\Rightarrow\; B_1M=\frac12 BC=\frac12 B_1C_1.$$ Следовательно, $M$ делит $B_1C_1$ пополам.

б) Угол между плоскостями. Пусть $P$ — основание высоты трапеции из $L$ на $KC$, $Q$ — проекция $L$ на плоскость $ABC$. Высота трапеции: $$LP=\frac{2S_{KLMC}}{LM+KC}=\frac{2\cdot6}{2+4}=2,\qquad KP=\frac12(KC-LM)=1.$$ По теореме о трёх перпендикулярах $PQ\perp KC$, поэтому $\angle LPQ$ — линейный угол между плоскостями $KLM$ и $ABC$. Из подобия треугольников $LB_1M\sim KBC$ следует $LB_1=\frac12 BK$, а из равенства проекций $KQ=MC_1=\frac12 BC$ получаем $$BC=2(BK-LB_1)=2\left(BK-\frac12BK\right)=BK,$$ т.е. треугольник $KBC$ — равнобедренный прямоугольный с углом $45^\circ$ при $K$. Подобный ему треугольник $KPQ$ тоже равнобедренный прямоугольный, значит $PQ=KP=1$. В прямоугольном треугольнике $LPQ$: $$\cos\angle LPQ=\frac{PQ}{LP}=\frac12 \;\Rightarrow\; \angle LPQ=60^\circ.$$