Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Возьмём на $AB$ точку $M$ так, что $AM:MB=1:3$ (это то же отношение, что $DN:NC$), а на $SB$ точку $P$ так, что $SP:PB=1:3$ (равно $SK:KC$). По теореме о пропорциональных отрезках $MN\parallel BC$ (в квадрате $ABCD$) и $KP\parallel BC$ (в треугольнике $SBC$). Значит четыре точки $M,N,K,P$ лежат в одной плоскости $\alpha$, параллельной $BC$.

Теперь в треугольнике $SAB$: $\dfrac{SP}{PB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac13$, поэтому по обратной теореме Фалеса $MP\parallel SA$. Так как $MP$ лежит в $\alpha$, а $SA$ не лежит в $\alpha$, получаем $SA\parallel\alpha$.

б) Прямая $MN\parallel AD$ (стороны квадрата), а $MP\parallel SA$ — две пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$ параллельны двум пересекающимся прямым плоскости $SAD$. Значит $\alpha\parallel SAD$, а угол между $\alpha$ и $SBC$ равен углу между плоскостями $SAD$ и $SBC$.

Этот угол образован апофемами противоположных граней. Пусть $F$ — середина $BC$, $O$ — центр основания. Тогда $OF\perp BC$ и $SF\perp BC$, а искомый угол равен $2\angle FSO$ (по симметрии пирамиды относительно центра $O$).

Вычислим: $OF=\dfrac{AB}{2}=2$, а апофема $SF=\sqrt{SB^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{49-4}=\sqrt{45}=3\sqrt5$.

Треугольник $SFO$ прямоугольный ($SO\perp$ основанию), поэтому $\sin\angle FSO=\dfrac{OF}{SF}=\dfrac{2}{3\sqrt5}$.

Итого $\varphi=2\arcsin\dfrac{2}{3\sqrt5}$.