Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Боковые грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ призмы лежат в параллельных плоскостях (это противоположные грани призмы). Секущая плоскость $MNK$ пересекает их по прямым $MN$ и $KP$ (где $P$ — точка пересечения плоскости с $CC_1$), а прямые пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями всегда параллельны. Значит $MN\parallel KP$, и четырёхугольник $MNPK$ — параллелограмм, у которого диагонали $NK$ и $MP$ пересекаются в общей точке $O$ и делятся ею пополам.

Пусть $AA_1=30x$. Тогда по условию отношений $AM=5x,\ BN=6x,\ DK=10x$. Высота точки $O$ над основанием равна среднему арифметическому высот концов каждой диагонали: $$h=\frac{BN+DK}{2}=8x=\frac{AM+CP}{2}=\frac{5x+CP}{2}\Rightarrow CP=11x.$$ Поскольку $AA_1=30x=30$, получаем $x=1$, поэтому $CP=11,\ PC_1=19$, то есть $CC_1$ делится в отношении $11:19$, что и требовалось.

б) При $x=1$: $AM=5,\ BN=6,\ DK=10,\ CP=11$, сторона основания $a=\sqrt{13}$.

Для угла $\alpha$ между плоскостью сечения и основанием используем формулу проекции: сечение $MNKP$ проецируется точно на квадрат $ABCD$ (вершины проецируются в $A,B,D,C$), поэтому $$\cos\alpha=\frac{S_{ABCD}}{S_{MNKP}}.$$

Найдём стороны параллелограмма по пространственной теореме Пифагора (горизонтальная сторона квадрата и разность высот точек): $$MN=PK=\sqrt{13+(6-5)^2}=\sqrt{14},\qquad MK=NP=\sqrt{13+(10-5)^2}=\sqrt{38},$$ $$NK=\sqrt{2\cdot13+(10-6)^2}=\sqrt{42}.$$

По теореме косинусов в $\triangle NMK$: $$\cos\angle NMK=\frac{14+38-42}{2\sqrt{14}\sqrt{38}}=\frac{5}{2\sqrt{133}},\qquad \sin\angle NMK=\frac12\sqrt{\frac{507}{133}}.$$

Площадь параллелограмма: $$S_{MNKP}=MN\cdot MK\cdot\sin\angle NMK=\sqrt{14}\cdot\sqrt{38}\cdot\frac12\sqrt{\frac{507}{133}}=\sqrt{507}.$$

Площадь основания $S_{ABCD}=a^2=13$. Тогда $$\cos\alpha=\frac{13}{\sqrt{507}}=\sqrt{\frac{169}{507}}=\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Следовательно, $\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}$.