Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Введём систему координат с началом в центре нижнего основания $O$, ось $Oz$ — вдоль оси призмы, а оси $Ox,Oy$ так, чтобы координаты вершин правильного шестиугольника были удобными. Пусть сторона основания $AB=2a$, тогда боковое ребро $AA_1=4a$.

а) Находим координаты $B(0;2a;0)$ и $E_1(0;-2a;4a)$, отсюда $\overrightarrow{BE_1}=(0;-4a;4a)$. Плоскость $\alpha$ проходит через $O(0;0;0)$ и перпендикулярна этому вектору, значит вектор $\overrightarrow{BE_1}$ является её нормалью. Уравнение плоскости через начало координат: $Ax+By+Cz=0$, а коллинеарность нормали с $\overrightarrow{BE_1}$ даёт $-4ay+4az=0\Rightarrow y=z$.

Прямая $AA_1$ задаётся как $x=-\sqrt3a,\;y=a$ (координаты точки $A$, $z$ меняется). Подставив $y=z=a$, получаем точку пересечения $L(-\sqrt3a;a;a)$. Так как $z$ у $A$ равен $0$, а у $A_1$ равен $4a$, то $AL=a$, $LA_1=3a$, значит $AL:LA_1=1:3$.

б) Находим уравнение плоскости $ABB_1$ через точки $A(-\sqrt3a;a;0)$, $B(0;2a;0)$, $B_1(0;2a;4a)$, решая систему $Ax+By+Cz+D=0$. Получаем нормаль $\vec n=(1;-\sqrt3;0)$. Нормаль плоскости $\alpha$ (из уравнения $y=z$) — $\vec m=(0;1;-1)$.

Угол между плоскостями находим по формуле $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n||\vec m|}=\dfrac{|-\sqrt3|}{\sqrt4\cdot\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{4}$.

Отсюда $\varphi=\arccos\dfrac{\sqrt6}{4}$.