Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Часть а) Доказательство отношения 1:4

Обозначим P — центр грани AA₁B₁B, Q — центр грани BB₁C₁C. Прямая PQ параллельна плоскости ABC (так как соединяет точки на боковых гранях на одинаковой высоте). Следовательно, плоскость α, содержащая PQ, пересекает плоскость ABC по прямой, параллельной PQ, то есть параллельной AC.

Пусть α пересекает AB в точке E, а BC в точке F. Используя свойства подобных треугольников и тот факт, что O лежит на пересечении CM и DN, можно показать через пропорциональность отрезков, что $AE = \frac{1}{5}AB$. Таким образом, $AE : EB = 1 : 4$.

Часть б) Угол между плоскостями

Пусть сторона куба равна $a$. Тогда $AC = a\sqrt{2}$.

Из анализа трапеции EPQF в плоскости α находим:

• $EF = \frac{3}{4}AC = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$
• $PQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Далее вычисляем $EP = \frac{a\sqrt{34}}{2}$ по теореме Пифагора.

Площадь трапеции EPQF (сечение в плоскости α): $$S_{EPQF} = \sqrt{\frac{34a^2}{4} - \frac{18a^2}{16}} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{5a\sqrt{2}}{2} + 4a\sqrt{2}\right) = \frac{13a^2\sqrt{59}}{4}$$

Площадь четырёхугольника EMNF (проекция на плоскость ABC): $$S_{EMNF} = S_{EBF} - S_{MBN} = \frac{(4a)^2}{2} - \frac{(\frac{5a}{2})^2}{2} = \frac{39a^2}{8}$$

Угол φ между плоскостями находится из соотношения проекции: $$\cos\varphi = \frac{S_{EMNF}}{S_{EPQF}} = \frac{\frac{39a^2}{8}}{\frac{13a^2\sqrt{59}}{4}} = \frac{3}{2\sqrt{59}}$$