Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскость $\alpha$ пересекает основание $ABCD$ по прямой $FL\parallel AC$ (так как сама плоскость параллельна $AC$). Поскольку $F$ — середина $AB$, а $FL\parallel AC$, отрезок $FL$ — средняя линия треугольника $ABC$, значит $L$ — середина $BC$. Прямая $FL$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$, причём из подобия треугольников $BFK$ и $BDA$ (или прямым подсчётом средней линии) получаем $BK=\dfrac14 BD$.

Пусть $DD_1=a$, тогда $DE=\dfrac67a$ (по условию $DE:ED_1=6:1$). Прямая $KE$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $P$; так как $BB_1\parallel DD_1$, треугольники $BKP$ и $DKE$ подобны (вертикальные углы при $K$ и параллельные прямые), поэтому $$\frac{BP}{DE}=\frac{BK}{DK}=\frac13\Rightarrow BP=\frac13\cdot\frac67a=\frac27a,\quad PB_1=a-\frac27a=\frac97a.$$

Точка $O$ — пересечение диагонали $DB_1$ с прямой $PE$. Треугольники $DOE$ и $B_1OP$ подобны (снова вертикальные углы и параллельность $DE\parallel B_1P$), значит $$\frac{DO}{OB_1}=\frac{DE}{PB_1}=\frac{6a/7}{9a/7}=\frac23,$$ что и требовалось доказать.

б) В правильной призме основание — квадрат со стороной 4, значит $BD=4\sqrt2$, а $BK=\dfrac14BD=\sqrt2$. Высота $DD_1=BB_1=7=a$, поэтому $BP=\dfrac27a=2$.

Так как $FL\parallel AC$, а $AC\perp BD$ (диагонали квадрата перпендикулярны), то $FL\perp BD$. По теореме о трёх перпендикулярах $FL\perp PK$, значит угол $PKB$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания $ABC$.

Из прямоугольного треугольника $PBK$: $$\tan\angle PKB=\frac{PB}{BK}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\sqrt2$.