Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$, $K$ — середина высоты $SO$. Прямая $BK$ лежит в плоскости $\alpha$ (она проходит через $B$ и $K$) и одновременно в плоскости $SBD$, значит точка пересечения $BK$ с $SD$ — это и есть точка $L$, где плоскость $\alpha$ пересекает ребро $SD$.

а) В треугольнике $SDO$ прямая $BL$ — секущая. По теореме Менелая: $$\frac{DL}{LS}\cdot\frac{SK}{KO}\cdot\frac{OB}{BD}=1.$$ Так как $K$ — середина $SO$, $SK/KO=1$, а $OB/BD=1/2$ (диагонали квадрата пересекаются в середине). Отсюда $\frac{DL}{LS}=\frac{BD}{OB}=2$, то есть $DL:LS=2:1$ — что и требовалось.

б) Через $K$ проведём среднюю линию $MN$ треугольника $SAC$ ($M\in SA$, $N\in SC$), она параллельна $AC$ и лежит в $\alpha$ — значит $MN$ — линия пересечения $\alpha$ и $SAC$. Так как $BA=BC$ и $MA=NC$ (средние линии), треугольник $BMN$ равнобедренный, поэтому медиана $BK$ (проходящая через середину $MN$) перпендикулярна $MN$. Также $SO\perp AC\parallel MN$. Значит угол $BKO$ — линейный угол между плоскостями.

Пусть $SO=2h$. Из $\angle SAC=30^\circ$ в прямоугольном треугольнике $SOA$: $\tan30^\circ=\dfrac{SO}{OA}$, отсюда $OA=2h\sqrt3=OB$ (диагонали квадрата равны). Тогда $KO=h$, а $$BK=\sqrt{BO^2+KO^2}=\sqrt{12h^2+h^2}=h\sqrt{13}.$$ Следовательно, $$\sin\angle BKO=\frac{BO}{BK}=\frac{2\sqrt3 h}{h\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}.$$