Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть A₁ — точка верхнего основания, лежащая прямо над A (то есть AA₁ — образующая цилиндра, AA₁=3, AA₁ перпендикулярна обеим плоскостям оснований). Пусть M — середина BC.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с AB=AC=10 и углом при вершине A равным 120°, медиана AM является одновременно высотой: $AM = AB\cos 60^\circ = 10\cdot\frac12 = 5$.

2. Прямоугольные треугольники ABA₁ и ACA₁ (прямой угол при A₁, так как AA₁⊥ верхней плоскости) имеют равные гипотенузы AB=AC=10 и общий катет AA₁, значит равны и вторые катеты: $BA_1=CA_1$. Поэтому треугольник A₁BC тоже равнобедренный, и A₁M — его высота и медиана, то есть $A_1M\perp BC$.

3. Так как AM⊥BC и A₁M⊥BC, угол между плоскостью ABC и плоскостью верхнего основания (параллельной нижнему) — это угол ∠AMA₁. В треугольнике AMA₁ угол при A₁ прямой (AA₁ перпендикулярна плоскости, содержащей A₁M), поэтому $\sin\angle AMA_1=\dfrac{AA_1}{AM}=\dfrac{3}{5}$. Значит искомый угол равен $\arcsin\frac{3}{5}$.

б) Из прямоугольного треугольника AMA₁: $A_1M=\sqrt{AM^2-AA_1^2}=\sqrt{25-9}=4$. Из прямоугольного треугольника ABM: $BM^2=AB^2-AM^2=100-25=75$. Тогда в прямоугольном треугольнике A₁BM (прямой угол при M): $A_1B=\sqrt{A_1M^2+BM^2}=\sqrt{16+75}=\sqrt{91}$, и по симметрии $A_1C=\sqrt{91}$.

Угол ∠A₁BC совпадает с ∠A₁BM, поэтому $\sin\angle A_1BC=\dfrac{A_1M}{A_1B}=\dfrac{4}{\sqrt{91}}$.

Точки A₁, B, C лежат на окружности верхнего основания радиуса R, поэтому по теореме синусов $2R=\dfrac{A_1C}{\sin\angle A_1BC}=\dfrac{\sqrt{91}}{4/\sqrt{91}}=\dfrac{91}{4}$, откуда $R=\dfrac{91}{8}=11.375>10=AB$, что и требовалось доказать.