Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Шаг 1. Строим сечение. Через $B_1$ проводим прямую, параллельную $AC_1$. Так как рёбра $B_1C_1$ и $AD$ лежат в параллельных плоскостях граней и сами параллельны, эта прямая пересечёт прямую $AD$ в некоторой точке $Q$ (продолжение ребра). Значит $AQB_1C_1$ — параллелограмм, откуда $AQ=B_1C_1=8$.

Шаг 2. Находим точку $P$. Прямая $QK$ пересекает ребро $A_1D_1$ в точке $P$ — это и есть след плоскости $\alpha$ на этой грани. Так как $AK=AA_1-A_1K=8-1=7$, треугольники $AKQ$ и $A_1KP$ подобны (углы при $K$ вертикальные, а $AQ\parallel A_1P$, значит соответствующие углы равны). Отсюда $$\frac{A_1P}{A_1K}=\frac{AQ}{AK}\Rightarrow A_1P=\frac{AQ\cdot A_1K}{AK}=\frac{8\cdot1}{7}=\frac87.$$ Тогда $PD_1=8-\frac87=\frac{48}{7}$, и $\dfrac{A_1P}{PD_1}=\dfrac{8/7}{48/7}=\dfrac{1}{6}$, что и требовалось доказать.

Шаг 3. Ищем угол между плоскостями. Прямая $PQ$ — общая линия плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани $ADD_1A_1$. Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно этой грани (как боковое ребро куба), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах, если $A_1H\perp PQ$ (в плоскости $ADD_1A_1$), то и $B_1H\perp PQ$ — значит угол $B_1HA_1$ — линейный угол между плоскостями.

Шаг 4. Вычисляем длины. В прямоугольном треугольнике $A_1PK$ (катеты $A_1K=1$, $A_1P=8/7$, угол при $A_1$ прямой, так как $AA_1\perp A_1D_1$): $$PK=\sqrt{A_1K^2+A_1P^2}=\sqrt{1+\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{113}}{7}.$$ $A_1H$ — высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу: $$A_1H=\frac{A_1K\cdot A_1P}{PK}=\frac{1\cdot\frac87}{\sqrt{113}/7}=\frac{8}{\sqrt{113}}.$$

Шаг 5. Находим угол. В прямоугольном треугольнике $B_1HA_1$ ($A_1B_1\perp A_1H$): $$\tan\angle B_1HA_1=\frac{A_1B_1}{A_1H}=\frac{8}{8/\sqrt{113}}=\sqrt{113}.$$ Следовательно, искомый угол $=\operatorname{arctg}\sqrt{113}$.