Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть сторона ромба и боковое ребро равны $a$. По теореме косинусов в треугольнике $ABC$ с углом $120^\circ$ между сторонами (диагональ $AC$ — против тупого угла ромба, а угол $A=60^\circ$ даёт для диагонали $A_1C_1$): $A_1C_1=\sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ}=\sqrt3\,a$.

Плоскость через $K,L,B$ пересекает продолжения сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $M,N$: из равенства треугольников $KD_1L,\;LC_1N,\;KA_1M$ получаем $MA_1=NC_1=KD_1=\frac a2$, $MB_1=NB_1=\frac{3a}2$, а $MN=3KL=\frac23A_1C_1=\frac{3\sqrt3}{2}a$.

Треугольники $MPK$ и $MBN$ подобны с коэффициентом $k=\frac15$ (сечение отсекает у большого треугольника два одинаковых уголка), поэтому площадь пятиугольного сечения $PKLQB$ равна $S_{сеч}=S_{MBN}-2\cdot k^2S_{MBN}=\frac79S_{MBN}$.

Высоту $h$ треугольника $MBN$ из вершины $B$ находим по теореме Пифагора: $h=\sqrt{MB^2-\left(\frac{MN}2\right)^2}=\frac{5a}4$, значит $S_{MBN}=\frac12\cdot\frac{3\sqrt3}2a\cdot\frac{5a}4=\frac{15\sqrt3}{16}a^2$, а $S_{сеч}=\frac{35\sqrt3}{48}a^2$.

Площадь основания $S_{ABCD}=a^2\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2a^2$, отсюда $\dfrac{S_{сеч}}{S_{ABCD}}=\dfrac{35}{24}$.

Для угла между плоскостями используем формулу проекции: $\cos\alpha=\dfrac{S_{пр}}{S_{сеч}}$, где $S_{пр}$ — площадь ортогональной проекции сечения на плоскость $DCC_1D_1$. Прямая $PP_1\parallel A_1D_1$ даёт проекцию $P_1D_1LQC$; вычитая из площади грани $a^2$ два прямоугольных треугольника с катетами $\frac{2a}3,a$ и $\frac a2,\frac a3$, получаем $S_{пр}=\frac{7}{12}a^2$.

Тогда $\cos\alpha=\dfrac{\frac{7}{12}a^2}{\frac{35\sqrt3}{48}a^2}=\dfrac{4\sqrt3}{15}$, значит $\alpha=\arccos\dfrac{4\sqrt3}{15}$.