Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскость $\alpha$ проходит через $B$ и параллельна $AC$, значит она пересекает плоскость основания по прямой $EF\parallel AC$, проходящей через $B$. Продолжая рёбра, получаем сечение $BMD_1N$, где $M,N$ — точки на боковых рёбрах, а $MN\parallel EF\parallel AC$ (по свойству параллельности плоскостей). Сечение — ромб, значит его диагонали $BD_1$ и $MN$ перпендикулярны: $BD_1\perp MN$, а значит $BD_1\perp AC$. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная $D_1B$ перпендикулярна $AC$ тогда и только тогда, когда её проекция $DB$ на плоскость основания перпендикулярна $AC$. Получаем $BD\perp AC$ — диагонали прямоугольника $ABCD$ перпендикулярны, значит $ABCD$ — квадрат.

б) Из симметрии сечения (диагональ $MN$ — средняя линия треугольника $ED_1F$) следует, что $M,N$ — середины боковых рёбер $AA_1$ и $CC_1$. Пусть $K$ — середина $BB_1$. Тогда $BK=3$, $KN=BC=4$ (т.к. $K,N$ на одной высоте), значит по теореме Пифагора $BN=\sqrt{BK^2+KN^2}=5$. Высота прямоугольного треугольника $BKN$: $KH=\dfrac{BK\cdot KN}{BN}=\dfrac{12}{5}$. По теореме о трёх перпендикулярах $MH\perp BN$, значит $\angle MHK$ — линейный угол искомого двугранного угла. Так как $MK=AB=4$ (M и K на одной высоте), получаем $\tan\angle MHK=\dfrac{MK}{KH}=\dfrac{4}{12/5}=\dfrac{5}{3}$, откуда угол равен $\arctan\dfrac{5}{3}$.

Проверка через площади: площадь ромба $S=\dfrac12\cdot BD_1\cdot MN=4\sqrt{34}$, площадь проекции (параллелограмма $BKC_1N$) равна половине площади грани $BCC_1B_1$, то есть $12$. Тогда $\cos\alpha=\dfrac{S_{пр}}{S}=\dfrac{12}{4\sqrt{34}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$.