Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Точка $T$ — середина $A_1B_1$, значит $C_1T$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$, а в равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой, поэтому $C_1T\perp A_1B_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию призмы (призма прямая), значит $AA_1\perp C_1T$. Итак, $C_1T$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $AA_1B_1$ — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_1T\perp(AA_1B_1)$. Так как $AT$ лежит в этой плоскости, $C_1T\perp AT$. Значит в треугольнике $ATC_1$ угол при $T$ прямой.

б) Найдём стороны: $A_1T=3$, $AA_1=6\Rightarrow AT=\sqrt{36+9}=3\sqrt5$; $TC_1=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$; $AC_1=\sqrt{AT^2+TC_1^2}=\sqrt{45+27}=6\sqrt2$.

В треугольнике $AA_1C_1$: $AA_1=A_1C_1=6$, $AC_1=6\sqrt2$, значит угол при $A_1$ прямой, и медиана к гипотенузе $A_1O=\frac{AC_1}{2}=3\sqrt2$.

В плоскости сечения проводим через $O$ (середина $AC_1$) прямую, перпендикулярную $AC_1$, до пересечения с $AT$ в точке $H$. Треугольники $AOH$ и $ATC_1$ подобны (общий угол $A$, оба прямоугольные), поэтому $OH=\dfrac{AO\cdot TC_1}{AT}=\dfrac{3\sqrt2\cdot3\sqrt3}{3\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt6}{\sqrt5}$.

Поскольку $A_1O\perp AC_1$ и $OH\perp AC_1$, плоскость $A_1OH\perp AC_1$, значит $A_1H\perp AC_1$; а так как $C_1T\perp(AA_1B_1)$, то $A_1H\perp C_1T$, следовательно $A_1H\perp(ATC_1)$, значит $A_1H\perp OH$. Тогда угол $A_1OH$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $ATC_1$ и $ACC_1$: $$\cos\angle A_1OH=\frac{OH}{A_1O}=\frac{3\sqrt6/\sqrt5}{3\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac35}.$$

Ответ: $\arccos\sqrt{\dfrac35}$.