Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Пусть D — середина AB. Тогда EF — средняя линия треугольника SAB, значит $EF\parallel AB$ и пересекает медиану SD в её середине K. Точка K лежит в плоскости CEF, поэтому прямая CK — след этой плоскости в треугольнике DSO, и она пересекает SO в точке L — искомой точке сечения.

Применим теорему Менелая к треугольнику DSO и прямой CKL: $$\frac{DK}{KS}\cdot\frac{SL}{LO}\cdot\frac{OC}{CD}=1.$$ Так как K — середина SD, $DK/KS=1$; O — центр масс, значит $OC/CD=2/3$. Отсюда $$\frac{SL}{LO}=\frac{3}{2},$$ что и требовалось доказать.

б) ET и FT — средние линии треугольников SAC и SBC, поэтому $ET\parallel AC,\ FT\parallel BC$, значит плоскость EFT параллельна плоскости ABC. Так как секущая плоскость CEF пересекает две параллельные плоскости, линии пересечения параллельны: линия пересечения CEF и ABC параллельна EF, а EF$\parallel AB$. Значит угол между CEF и EFT равен углу между CEF и ABC.

В силу правильности пирамиды плоскость CSD — плоскость симметрии, поэтому CD⊥AB и CK⊥EF, а сами прямые CD и CK лежат в одной плоскости с линией пересечения, значит искомый угол равен $\angle LCO$ (L и O — точки на CK и CD).

Из площади: $\frac{AB^2\sqrt3}{4}=27\sqrt3\Rightarrow AB^2=108\Rightarrow AB=6\sqrt3$, тогда $CD=\frac{\sqrt3}{2}AB=9$, $CO=\frac23CD=6$.

Поскольку SC=10 (пирамида правильная), $SO=\sqrt{SC^2-CO^2}=\sqrt{100-36}=8$.

Из пункта а) $LO=\frac25SO=\frac{16}{5}$.

Тогда $\tan\angle LCO=\dfrac{LO}{CO}=\dfrac{16/5}{6}=\dfrac{8}{15}$, и $$\cos\angle LCO=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\angle LCO}}=\frac{15}{\sqrt{15^2+8^2}}=\frac{15}{17}.$$