Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $SBC$, $P$ — середина $BC$, $K$ — точка пересечения $AC$ и $PD$. Треугольники $AKD$ и $CKP$ подобны (по параллельности $AD\parallel PC$), поэтому $\dfrac{PK}{KD}=\dfrac{PC}{AD}=\dfrac12$. По свойству медиан $\dfrac{PM}{MS}=\dfrac12$ — значит, $\dfrac{PK}{KD}=\dfrac{PM}{MS}$, откуда $MK\parallel SD$. Так как плоскость $\alpha$ по условию параллельна $SD$, а пересекает плоскость $SPD$ по прямой через $K$, эта прямая обязана быть параллельна $SD$, то есть совпадать с $MK$. Значит $K\in\alpha$. Но $K$ лежит на прямой $AC$, значит и $C\in\alpha$, что и требовалось.

б) Пусть $BC=x_0$, тогда $AB=\sqrt3\,x_0$, $SB=2x_0$. Так как боковые рёбра равны, вершина $S$ проецируется в центр $O$ прямоугольника — точку пересечения диагоналей. Введём оси: $B(0,0,0)$, $C(x_0,0,0)$, $A(0,\sqrt3x_0,0)$, тогда $O(\tfrac{x_0}2,\tfrac{\sqrt3x_0}2,0)$. Высота $SO$ находится из $SO^2=SB^2-BO^2=4x_0^2-x_0^2=3x_0^2$, значит $SO=\sqrt3x_0$, и $S(\tfrac{x_0}2,\tfrac{\sqrt3x_0}2,\sqrt3x_0)$. Точка $M$ делит медиану $SP$ в отношении $2:1$ от вершины, где $P(\tfrac{x_0}2,0,0)$ — середина $BC$; отсюда $M(\tfrac{x_0}2,\tfrac{\sqrt3x_0}6,\tfrac{\sqrt3x_0}3)$.

Составим уравнение плоскости $SBC$ через точки $B,C,S$: получаем $-2y+z=0$, нормаль $\vec n_1=(0,-2,1)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через $A,M,C$; подставив координаты, находим уравнение $\sqrt3x+y+z-\sqrt3x_0=0$, нормаль $\vec n_2=(\sqrt3,1,1)$.

Угол между плоскостями находим через косинус угла между нормалями: $$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\frac{|-2+1|}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\frac15.$$

Почему берём модуль — угол между плоскостями всегда острый (или прямой), а скалярное произведение нормалей может дать любой знак.

Ответ: $\varphi=\arccos\dfrac15$.