Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой $l$, а плоскость $ADS$ — по прямой $m$. Если бы $l$ и $AD$ пересекались в точке $X$, то и $m$ проходила бы через $X$; но $l$ и $m$ — противоположные стороны прямоугольника, значит параллельны и пересекаться не могут. Отсюда $l\parallel AD$, то есть $l=BC$. Тогда сторона сечения $PQ\parallel BC$ и $PQ=BC=\dfrac{AD}{2}$, значит $P,Q$ — середины $SA,SD$ (по свойству средней линии треугольника).

Рассмотрим сечение через высоту $SH$, перпендикулярное $AD$: $M,N$ — середины $BC,AD$, $T$ — середина $PQ$, $O$ — точка пересечения $SH$ с плоскостью сечения. Теорема Менелая для $\triangle HSN$ и секущей $TO$ даёт $\dfrac{NT}{TS}\cdot\dfrac{SO}{OH}\cdot\dfrac{HM}{MN}=1$. Так как $NT=TS$ и $SO:OH=2:1$, получаем $\dfrac{HM}{MN}=\dfrac12$, то есть $H$ — середина $MN$.

б) Пусть $AD=BP=4x$, тогда $MT=4x$. Обозначим $\angle SMT=\alpha$; тогда $\angle SMN=\angle SNM=\alpha+15^\circ$, $\angle MTS=\alpha+30^\circ$, $\angle MSN=150^\circ-2\alpha$. По теореме синусов в $\triangle MTS$ получаем два выражения для $MS=2y$, приравнивая которые находим $2\sin\alpha=\sin(\alpha+30^\circ)$, откуда $\tan\alpha=\dfrac{1}{4-\sqrt3}$.

Высота $h=MS\sin\alpha=2y\sin\alpha$ треугольника $MST$ одновременно является высотой пирамиды $SBPTM$, поэтому искомый угол $\beta$ между плоскостью сечения и гранью $SAB$ находится из $\tan\beta=\dfrac{h}{x}$. Выразив всё через $\alpha$ и подставив $\tan\alpha=\dfrac{1}{4-\sqrt3}$, после тригонометрических преобразований получаем $\tan\beta=\dfrac{4\sqrt3+4\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1+2\sqrt3\cot\alpha}=\dfrac{16}{12}=\dfrac43$.

Следовательно, $\beta=\operatorname{arctg}\dfrac43$.