Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Продолжим стороны KL и MN до пересечения в точке Q (трапеция, значит они не параллельны). Углы QLM и QML — смежные с углами KLM и LMN, поэтому $\angle QLM=180^\circ-\angle KLM$, $\angle QML=180^\circ-\angle LMN$. Их сумма: $360^\circ-(\angle KLM+\angle LMN)=360^\circ-270^\circ=90^\circ$, а значит в треугольнике $QLM$ угол при вершине Q равен $180^\circ-90^\circ=90^\circ$, то есть $\angle LQM=90^\circ$.

Плоскости $KPL$ и $PMN$ обе перпендикулярны плоскости основания. Известное свойство: если две плоскости, каждая перпендикулярна третьей, то их линия пересечения тоже перпендикулярна этой третьей плоскости. Обе плоскости содержат точку $P$ и точку $Q$ (Q лежит и на прямой $KL$, и на прямой $MN$), значит их пересечение — прямая $PQ$, и $PQ\perp$ плоскости основания. Тогда $PQ\perp QL$ и $PQ\perp QM$, а значит угол $LQM$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $KPL$ и $PMN$ вдоль ребра $PQ$. Так как этот угол равен $90^\circ$, плоскости перпендикулярны.

б) Так как $PQ\perp$ основанию, отрезок $PQ$ — высота всей пирамиды, $PQ=8$.

Трапеция равнобедренная ($KL=MN$), поэтому треугольник $QLM$ — равнобедренный прямоугольный ($\angle Q=90^\circ$, $QL=QM$), а $LM=12$ — гипотенуза. Отсюда $QL=QM=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2$.

Высота $QH$ на гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы: $QH=\dfrac{LM}{2}=6$.

Поскольку $PQ\perp$ основанию и $QH\perp LM$, по теореме о трёх перпендикулярах $PH\perp LM$, и $PH=\sqrt{PQ^2+QH^2}=\sqrt{64+36}=10$.

Теперь считаем площади граней пирамиды $PLQM$: $$S_{QLM}=\frac12\cdot QL\cdot QM=\frac12\cdot6\sqrt2\cdot6\sqrt2=36,$$ $$S_{PQL}=S_{PQM}=\frac12\cdot PQ\cdot QL=\frac12\cdot8\cdot6\sqrt2=24\sqrt2,$$ $$S_{PLM}=\frac12\cdot PH\cdot LM=\frac12\cdot10\cdot12=60.$$

Суммируя все четыре грани: $$S_{полн}=36+24\sqrt2+24\sqrt2+60=96+48\sqrt2=48(2+\sqrt2).$$