Расстояние от точки до плоскости в задании 14 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ почти всегда строится вокруг многогранника — куба, призмы или пирамиды. Первая часть задачи (пункт а) обычно требует что-то доказать: найти объём, отношение объёмов или угол. Вторая часть (пункт б) чаще всего просит найти расстояние от точки до плоскости. Это не отдельная изолированная задача, а логическое продолжение первой части: обычно те же точки, та же фигура, а иногда даже вычисленный в пункте а) объём напрямую используется для нахождения расстояния.

Суть подтемы простая: расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Строить этот перпендикуляр «руками» в сложном многограннике долго и рискованно из-за ошибок в построении. Поэтому на экзамене эту величину практически всегда находят одним из двух быстрых способов — через уравнение плоскости в координатах или через объём тетраэдра. Именно эти два метода и разбираются в этом гайде.

Что нужно знать

Для уверенного решения таких задач нужен небольшой, но чётко отработанный набор фактов.

1. Определение расстояния. Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ — длина отрезка $MH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\alpha$.

2. Формула расстояния через уравнение плоскости. Если плоскость задана уравнением $$Ax+By+Cz+D=0,$$ а точка имеет координаты $M(x_0,y_0,z_0)$, то $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

3. Как получить уравнение плоскости по трём точкам. Если известны три точки плоскости $P_1, P_2, P_3$, берут два вектора $\vec{u}=P_1P_2$, $\vec{v}=P_1P_3$ и находят их векторное произведение — это и есть нормальный вектор плоскости $\vec n=(A,B,C)$: $$\vec n=\vec u\times\vec v.$$ Затем уравнение плоскости записывают как $$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0,$$ где $(x_1,y_1,z_1)$ — координаты любой из точек $P_1,P_2,P_3$.

4. Формула объёма тетраэдра через смешанное произведение. Если тетраэдр задан вершинами $A, B, C, D$, то $$V=\frac{1}{6}\left|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right|,$$ где в скобках стоит смешанное произведение векторов (определитель матрицы из их координат).

5. Связь объёма и расстояния. Для любого тетраэдра верно $$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h,$$ откуда $$h=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}.$$ Эта формула позволяет находить расстояние от точки до плоскости, вообще не выписывая уравнение плоскости: достаточно посчитать объём тетраэдра с вершиной в искомой точке и основанием — треугольником, лежащим в нужной плоскости, а также площадь этого треугольника.

6. Удобная система координат в кубе или прямоугольном параллелепипеде. Если у фигуры есть вершина с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами, разумно поместить начало координат именно туда, а оси направить вдоль рёбер. Тогда координаты всех вершин куба с ребром 1 выписываются мгновенно: например, $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Больше для этой подтемы, по существу, не требуется — не нужны сложные теоремы о перпендикулярах или трёхгранных углах, если владеть координатным методом уверенно.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм координатного метода:

1. Ввести систему координат так, чтобы одна из вершин фигуры стала началом, а рёбра пошли вдоль осей. Записать координаты всех вершин, которые понадобятся в задаче.
2. Найти координаты точки, до которой нужно измерить расстояние (если это середина отрезка — использовать формулу середины: координаты складываются и делятся пополам).
3. Выбрать три точки, задающие плоскость, и составить два вектора из одной общей точки.
4. Вычислить векторное произведение этих векторов — получить нормальный вектор плоскости $(A,B,C)$.
5. Составить уравнение плоскости, подставив координаты одной из точек.
6. Подставить координаты искомой точки в формулу расстояния и вычислить $d$.
7. Сократить дробь, при необходимости избавиться от иррациональности в знаменателе.

Алгоритм метода объёма (часто быстрее, если объём уже посчитан в пункте а):

1. Определить тетраэдр, в котором основание лежит в нужной плоскости, а вершина — искомая точка.
2. Вычислить объём этого тетраэдра любым удобным способом (через координаты, через готовый результат пункта а, через разбиение фигуры).
3. Найти площадь треугольника-основания, лежащего в плоскости, — обычно через координаты (полусумма модуля векторного произведения) или через формулу Герона.
4. Подставить в $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$.

На экзамене оба метода равноправны, но координатный чуть более универсален и меньше зависит от того, насколько удачно решён пункт а). Метод объёма выгоден, когда координаты вводить неудобно (например, в сложных пирамидах без прямых углов) или когда объём уже вычислен.

Разбор примера

Пример 1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Точка $T$ — середина ребра $AD$. Пункт б): найти расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BT$.

Шаг 1. Координаты. Поместим начало координат в вершину $A$: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$. Точка $T$ — середина $AD$, значит $T(0;0{,}5;0)$.

Шаг 2. Векторы плоскости. Возьмём точку $A_1$ как базовую и составим два вектора: $$\vec{A_1B}=(1,0,-1),\qquad \vec{A_1T}=(0;\,0{,}5;\,-1).$$

Шаг 3. Нормальный вектор. $$\vec n=\vec{A_1B}\times\vec{A_1T}= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&0&-1\\ 0&0{,}5&-1 \end{vmatrix}=(0{,}5;\,1;\,0{,}5).$$ Удобнее умножить на 2: $\vec n=(1,2,1)$.

Шаг 4. Уравнение плоскости. Подставим точку $A_1(0,0,1)$: $$1\cdot(x-0)+2\cdot(y-0)+1\cdot(z-1)=0\ \Rightarrow\ x+2y+z-1=0.$$

Шаг 5. Расстояние от $A(0,0,0)$: $$d=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}.$$

Ответ совпадает с эталонным: $\dfrac{\sqrt6}{6}$.

Проверка методом объёма. Объём тетраэдра $A A_1BT$: $$V=\frac16\left|\det\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&0{,}5&0\end{pmatrix}\right|=\frac16\cdot0{,}5=\frac1{12}.$$ Площадь треугольника $A_1BT$ равна половине модуля вектора $(0{,}5;1;0{,}5)$, то есть $$S=\frac12\sqrt{0{,}25+1+0{,}25}=\frac12\sqrt{1{,}5}=\frac{\sqrt6}{4}.$$ Тогда $$h=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot\frac1{12}}{\frac{\sqrt6}{4}}=\frac{\frac14}{\frac{\sqrt6}{4}}=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}.$$ Оба метода дают одинаковый результат — это хороший способ самопроверки.

Пример 2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Пункт б): найти расстояние от середины отрезка $BC_1$ до плоскости $AB_1D_1$.

Шаг 1. Координаты. Как и раньше: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Середина $BC_1$: $M=\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+1}{2}\right)=(1;\,0{,}5;\,0{,}5)$.

Шаг 2. Векторы плоскости $AB_1D_1$. Базовая точка $A(0,0,0)$: $$\vec{AB_1}=(1,0,1),\qquad \vec{AD_1}=(0,1,1).$$

Шаг 3. Нормальный вектор. $$\vec n=\vec{AB_1}\times\vec{AD_1}= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=(-1,-1,1).$$

Шаг 4. Уравнение плоскости. Так как плоскость проходит через начало координат: $$-x-y+z=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+y-z=0.$$

Шаг 5. Расстояние от $M(1;0{,}5;0{,}5)$: $$d=\frac{|1+0{,}5-0{,}5|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ совпадает с эталонным: $\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала грамотно расставить координаты вершин куба, затем построить нормаль через векторное произведение, затем подставить в формулу расстояния. Метод не меняется от задачи к задаче — меняются только конкретные точки.

Типичные ошибки

• Неверная расстановка вершин куба. Если перепутать порядок обхода $ABCD$ (например, сделать его не по кругу, а «крест-накрест»), все дальнейшие вычисления окажутся неверными. Перед началом решения полезно нарисовать куб и подписать координаты на чертеже.
• Ошибка в векторном произведении. Самая частая техническая ошибка — перепутанные знаки при разложении определителя $3\times3$. Стоит всегда расписывать вычисление по формуле разложения по первой строке, а не «на глаз».
• Забытый модуль в формуле расстояния. Расстояние не может быть отрицательным, а числитель формулы обязательно берётся по модулю.
• Векторы взяты не из одной точки. Для составления нормали оба вектора должны выходить из одной и той же вершины плоскости, иначе нормаль будет неверной.
• Путаница, чьё расстояние ищется. Если в условии фигурирует середина отрезка или произвольная точка на ребре, нужно сначала аккуратно найти её координаты — ошибка здесь автоматически портит весь ответ.
• Неаккуратная работа с корнями. После деления часто получается дробь с иррациональностью в знаменателе — её нужно обязательно избавить (умножить числитель и знаменатель на нужный корень), иначе ответ не совпадёт с ожидаемым видом.
• Использование площади не того треугольника в методе объёма — при работе с гранью многогранника легко взять площадь всей грани вместо треугольника-основания тетраэдра.

На что обратить внимание на экзамене

Выбирайте систему координат так, чтобы вершина с началом координат имела три взаимно перпендикулярных ребра — это резко упрощает все дальнейшие вычисления и почти всегда возможно в кубе, прямоугольном параллелепипеде и правильной призме. Перед вычислениями коротко зафиксируйте координаты всех нужных точек на черновике в виде списка — так меньше риск опечатки при подстановке.

После нахождения ответа полезно устроить быструю проверку на правдоподобие: расстояние от точки до плоскости в кубе с ребром 1 не может быть больше диагонали куба $\sqrt3$, а обычно оно заметно меньше 1. Если получилось число больше 1 или откровенно громоздкое выражение — это сигнал перепроверить вычисления.

Если в пункте а) уже найден объём нужного тетраэдра или пирамиды, обязательно попробуйте использовать формулу $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$ — это часто быстрее, чем заново выписывать уравнение плоскости, и одновременно служит проверкой координатного решения.

Следите за временем: на задание 14 целиком (оба пункта) разумно отводить не более 12–15 минут. Если координатные вычисления слишком громоздки, не бойтесь переключиться на метод объёма или наоборот — оба метода должны быть в арсенале одинаково уверенно.