Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние от точки до плоскости

а) Перпендикулярность $A_1C$ и $BD$. Призма прямая, значит боковое ребро $AA_1\perp$ плоскости основания $ABCD$. Тогда прямая $AC$ является проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость основания.

В ромбе диагонали перпендикулярны: $AC\perp BD$. По теореме о трёх перпендикулярах (если проекция наклонной перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и сама наклонная ей перпендикулярна) получаем $A_1C\perp BD$, что и требовалось доказать.

б) Расстояние от $O_1$ до плоскости $BDC_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба (середина $BD$ и $AC$), $O_1$ — центр верхней грани, лежащий точно над $O$ на высоте призмы.

Из прямоугольного треугольника $AOB$ (диагонали ромба пересекаются под прямым углом): $OB=\dfrac{BD}{2}=6$, $AB=10$, значит $$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{100-36}=8,\qquad AC=16.$$

Так как $BD\perp AC$ и $BD\perp AA_1$ (высота перпендикулярна основанию), прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$ (перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости). Значит любая плоскость, содержащая $BD$, в частности плоскость $BDC_1$, перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$. Линией их пересечения служит прямая $OC_1$.

Поскольку $O_1$ лежит в плоскости $AA_1C_1C$, а эта плоскость перпендикулярна плоскости $BDC_1$ по прямой $OC_1$, расстояние от $O_1$ до плоскости $BDC_1$ равно высоте, опущенной из $O_1$ на прямую $OC_1$ в плоскости $AA_1C_1C$, то есть высоте $O_1H$ прямоугольного треугольника $OO_1C_1$ (прямой угол при $O_1$, так как $OO_1\perp$ основания, а $O_1C_1$ лежит в верхнем основании).

Находим катеты:

• $OO_1=6$ (высота призмы),
• $O_1D_1=OD=6$ (половина диагонали верхнего ромба, равная половине $BD$),
• $C_1D_1=AB=10$ (сторона ромба),
• из прямоугольного треугольника $O_1D_1C_1$: $O_1C_1=\sqrt{C_1D_1^2-O_1D_1^2}=\sqrt{100-36}=8$.

Теперь по формуле высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, $$O_1H=\dfrac{O_1C_1\cdot OO_1}{\sqrt{O_1C_1^2+OO_1^2}}=\dfrac{8\cdot6}{\sqrt{64+36}}=\dfrac{48}{10}=4{,}8.$$

Таким образом, искомое расстояние равно $4{,}8$.