Задание 14: расстояние между точками и от точки до прямой в стереометрии

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ — это стереометрическая задача из двух пунктов: сначала нужно что-то доказать (перпендикулярность, параллельность, вид сечения), а затем вычислить числовую характеристику — часто это расстояние. Подтема «расстояние между точками, от точки до прямой» встречается почти в каждом варианте, потому что на ней строятся многие другие вычисления: расстояние до плоскости, между скрещивающимися прямыми, длины высот и медиан пространственных фигур.

Суть задачи всегда одна: дана точка $M$ и прямая $\ell$ в пространстве (заданная двумя точками или как ребро/диагональ многогранника), нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\ell$. Это кратчайшее расстояние от точки до прямой.

Основная трудность — не в самой формуле, а в том, чтобы правильно построить модель фигуры: ввести систему координат или найти подходящий плоский треугольник, в котором можно применить теорему Пифагора. Именно поэтому эта подтема требует уверенного владения координатным методом и базовой геометрией.

Что нужно знать

1. Расстояние между двумя точками в пространстве. Если точки заданы координатами $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$, то $$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$ Это прямое обобщение теоремы Пифагора на трёхмерный случай.

2. Расстояние от точки до прямой через векторное произведение. Пусть прямая $\ell$ проходит через точку $A$ и имеет направляющий вектор $\vec{s}$, а расстояние ищется от точки $M$. Тогда $$\rho(M,\ell)=\frac{|\vec{AM}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|}.$$ Эта формула работает всегда, если известны координаты точек — она не требует построения перпендикуляра «руками».

3. Геометрический смысл формулы. Численно $|\vec{AM}\times \vec{s}|$ равен удвоенной площади треугольника $AMB$ (где $B$ — вторая точка на прямой), а $|\vec{s}|=AB$ — основание этого треугольника. Тогда $\rho = \dfrac{2S_{AMB}}{AB}$ — это просто высота треугольника, опущенная на сторону $AB$. Можно решать и без координат, если удаётся найти площадь треугольника и длину основания другими способами (по теореме косинусов, формуле Герона).

4. Скалярное произведение для проверки перпендикулярности. Векторы $\vec u$ и $\vec v$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\vec u\cdot \vec v=0$. Это часто нужно в пункте а) задания — доказать перпендикулярность двух прямых или ребра и сечения.

5. Свойства правильных многогранников. Для куба все грани — квадраты, диагонали граней и пространственная диагональ связаны формулами $d_{грани}=a\sqrt2$, $d_{куба}=a\sqrt3$. Для правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр; боковое ребро, высота пирамиды и радиус описанной около основания окружности связаны теоремой Пифагора: $l^2=h^2+R^2$, где $l$ — боковое ребро.

6. Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $a$: $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, то есть $a=R\sqrt3$.

Как решать: метод и алгоритм

Есть два рабочих подхода — координатный и чисто геометрический. На экзамене чаще выгоден координатный, потому что он не требует «увидеть» удачное построение.

Алгоритм координатного метода:

1. Выберите систему координат, привязанную к прямым углам фигуры. Для куба — оси вдоль трёх ребер из одной вершины. Для правильной пирамиды — начало в центре основания, ось $z$ вдоль высоты.
2. Найдите координаты всех вершин, участвующих в задаче, включая середины рёбер (если нужны).
3. Постройте направляющий вектор прямой $\vec s$ (разность координат двух точек прямой) и вектор от точки на прямой до искомой точки $\vec{AM}$.
4. Если требуется доказать перпендикулярность — вычислите скалярное произведение соответствующих векторов и покажите, что оно равно нулю.
5. Для расстояния вычислите векторное произведение $\vec{AM}\times\vec s$, найдите его длину, а затем разделите на $|\vec s|$.
6. Проверьте ответ на разумность (сравните с длиной ребра или другими известными отрезками — расстояние от точки до прямой не может быть больше расстояния до любой точки этой прямой).

Алгоритм геометрического метода (если координаты неудобны):

1. Найдите плоскость, в которой лежат точка $M$ и прямая $\ell$ (или треугольник, содержащий искомый перпендикуляр).
2. Вычислите длины сторон получившегося треугольника, используя известные длины рёбер, диагоналей, теорему Пифагора или косинусов.
3. Найдите площадь треугольника (по формуле Герона, через синус угла или разложением на прямоугольные треугольники).
4. Расстояние от точки до прямой — это высота треугольника: $\rho=\dfrac{2S}{a}$, где $a$ — длина стороны-прямой.

Выбор метода зависит от фигуры: если она обладает естественной декартовой симметрией (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная пирамида с известной высотой) — почти всегда быстрее координаты.

Разбор примера

Пример 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1. а) Докажите, что $BD_1\perp AC$. б) Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $BD_1$.

Решение. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

а) Перпендикулярность. Направляющие векторы: $$\vec{BD_1}=D_1-B=(-1,1,1),\qquad \vec{AC}=C-A=(1,1,0).$$ Скалярное произведение: $$\vec{BD_1}\cdot\vec{AC}=(-1)\cdot1+1\cdot1+1\cdot0=0.$$ Поскольку произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть $BD_1\perp AC$, что и требовалось доказать.

б) Расстояние от $C$ до прямой $BD_1$. Возьмём точку на прямой $B$ и вектор $\vec{BC}=C-B=(0,1,0)$. Направляющий вектор прямой $\vec s=\vec{BD_1}=(-1,1,1)$.

Вычислим векторное произведение: $$\vec{BC}\times \vec s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&1&0\\-1&1&1\end{vmatrix}=(1\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot(-1)-0\cdot1,\;0\cdot1-1\cdot(-1))=(1,0,1).$$ Его длина: $|\vec{BC}\times\vec s|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2$.

Длина направляющего вектора: $|\vec s|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt3$.

Тогда расстояние: $$\rho(C,BD_1)=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

Это совпадает с ответом. Обратите внимание: тот же результат можно получить, найдя площадь треугольника $BCD_1$ по сторонам $BC=1$, $CD_1=\sqrt2$, $BD_1=\sqrt3$ и разделив удвоенную площадь на $BD_1$ — но векторный способ короче и надёжнее.

Пример 2. Правильная треугольная пирамида $DABC$ с вершиной $D$: боковое ребро $\sqrt{43}$, высота $\sqrt{31}$. а) Докажите, что сечение через середины ребер $BD$, $AC$, $AD$ является прямоугольником. б) Найдите расстояние от середины ребра $BD$ до прямой $MT$, где $M$, $T$ — середины ребер $AC$, $AD$.

Решение. Сначала найдём сторону основания. Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около основания $ABC$. По теореме Пифагора для боковой грани: $$l^2=h^2+R^2\;\Rightarrow\; 43=31+R^2\;\Rightarrow\;R^2=12\;\Rightarrow\;R=2\sqrt3.$$ Для правильного треугольника $a=R\sqrt3=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$ — сторона основания равна 6.

Введём координаты: центр основания в начале координат, ось $z$ вдоль высоты. Тогда $$A(2\sqrt3,0,0),\quad B(-\sqrt3,3,0),\quad C(-\sqrt3,-3,0),\quad D(0,0,\sqrt{31}).$$ Проверка: $DA=\sqrt{(2\sqrt3)^2+31}=\sqrt{12+31}=\sqrt{43}$ — совпадает с условием.

а) Прямоугольник. Обозначим $M$ — середина $AC$, $T$ — середина $AD$, $N$ — середина $BD$, $K$ — середина $BC$ (четвёртая вершина сечения). По свойству средней линии треугольника: $$MT\parallel CD,\quad NK\parallel CD,\quad MK\parallel AB,\quad TN\parallel AB,$$ поэтому $MTNK$ — параллелограмм. Чтобы он был прямоугольником, нужно $AB\perp CD$. Проверим: $$\vec{AB}=B-A=(-3\sqrt3,3,0),\qquad \vec{CD}=D-C=(\sqrt3,3,\sqrt{31}).$$ $$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=-3\sqrt3\cdot\sqrt3+3\cdot3+0=-9+9=0.$$ Векторы перпендикулярны, значит стороны сечения перпендикулярны, и $MTNK$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Расстояние от $N$ до прямой $MT$. Найдём координаты: $$M=\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac32,0\right),\quad T=\left(\sqrt3,0,\frac{\sqrt{31}}{2}\right),\quad N=\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac32,\frac{\sqrt{31}}{2}\right).$$ Направляющий вектор прямой: $\vec{MT}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac32,\dfrac{\sqrt{31}}{2}\right)$, его длина $|\vec{MT}|=\sqrt{\frac34+\frac94+\frac{31}4}=\sqrt{\frac{43}4}=\dfrac{\sqrt{43}}2$.

Вектор от точки на прямой до искомой точки: $\vec{MN}=\left(-\sqrt3,3,\dfrac{\sqrt{31}}2\right)$.

Вычисляя векторное произведение $\vec{MN}\times\vec{MT}$ и его длину (выкладки опускаем, но метод тот же, что в примере 1), получаем $|\vec{MN}\times\vec{MT}|=\dfrac{3\sqrt{43}}2$.

Тогда расстояние: $$\rho(N,MT)=\frac{3\sqrt{43}/2}{\sqrt{43}/2}=3.$$

Ответ совпадает с заданным. Здесь ключевым было аккуратно найти сторону основания через боковое ребро и высоту, а затем работать по единому координатному алгоритму.

Типичные ошибки

• Путаница между направляющим вектором прямой и вектором к точке. В формуле важно не перепутать, какой из векторов идёт вдоль прямой, а какой — к искомой точке; иначе векторное произведение даст неверный результат.
• Ошибки в вычислении векторного произведения. Часто путают знаки при вычислении определителя — рекомендуется всегда писать формулу через компоненты и проверять знаки построчно.
• Неправильный выбор системы координат. Если оси не совмещены с естественными прямыми углами фигуры, вычисления резко усложняются и растёт риск арифметической ошибки.
• Забывают найти сторону основания через данные о боковом ребре и высоте. В задачах с пирамидами почти всегда нужен промежуточный шаг — вычислить сторону основания или радиус описанной окружности, прежде чем ставить координаты.
• Использование неправильной формулы для правильного треугольника. Путают радиус вписанной и описанной окружности: $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$ (описанная), $r=\dfrac{a}{2\sqrt3}$ (вписанная) — их легко перепутать.
• Не проверяют ответ на разумность. Если расстояние от точки до прямой получилось больше длины самой прямой или больше диагонали фигуры — это сигнал ошибки в вычислениях.
• Забывают доказательную часть пункта а). Даже если сразу видно, как найти расстояние, часть баллов теряется, если не оформлено доказательство перпендикулярности или вида сечения.

На что обратить внимание на экзамене

Выбирайте систему координат сразу так, чтобы как можно больше точек имели нулевые координаты — это резко упрощает дальнейшие вычисления и экономит время. Для куба и прямоугольного параллелепипеда — оси вдоль ребер из одной вершины; для правильной пирамиды — начало в центре основания, ось $z$ вдоль высоты, а вершины основания через тригонометрию (углы $0°,120°,240°$ для треугольника, $0°,90°,180°,270°$ для квадрата).

Всегда явно записывайте оба вектора — направляющий вектор прямой и вектор к точке — перед тем как считать произведение, чтобы не сбиться в вычислениях под давлением времени.

Проверяйте промежуточные величины (например, длину бокового ребра или диагонали) подстановкой в исходные условия — это быстрый способ отловить ошибку до того, как она усложнит финальный ответ.

Если ответ получается «некрасивым» (не сокращается, содержит громоздкий корень), вероятна арифметическая ошибка в координатах — пересчитайте разности координат и компоненты векторного произведения.

Не забывайте, что задание 14 оценивается по критериям: доказательная часть а) и вычислительная часть б) оцениваются отдельно. Даже если не удалось довести вычисления до числа, аккуратно записанное доказательство и правильно построенная модель приносят баллы.