Сечения круглых тел: задание 14 ЕГЭ профиль — гайд с разбором примеров

О чём эта подтема

Круглые тела — шар, конус, цилиндр — регулярно встречаются в задании 14. Задача обычно состоит из двух пунктов: сначала нужно что-то доказать (что сечение — круг, что угол меньше или больше заданного значения), а потом — вычислить площадь сечения, длину отрезка или угол. Сложность в том, что сечение круглого тела плоскостью — это не сама фигура тела, а новая плоская фигура (круг, эллипс, треугольник, прямоугольник), и чтобы найти её параметры, нужно грамотно связать пространственную геометрию с планиметрией: теоремой Пифагора, теоремой косинусов, подобием.

В этой подтеме чаще всего встречаются три сюжета: сечение сферы (шара) плоскостью, сечение конуса плоскостью через вершину или параллельной основанию, реже — сечение цилиндра. Разберём именно тот минимум теории и приёмов, который реально нужен для решения.

Что нужно знать

Сечение шара плоскостью. Если плоскость пересекает сферу радиуса $R$ на расстоянии $d$ от центра ($d < R$), сечением служит круг радиуса $$r = \sqrt{R^2 - d^2}.$$ Если $d = R$ — плоскость касается сферы в одной точке, если $d > R$ — плоскость не пересекает сферу вообще. Это следует из того, что все точки сечения равноудалены от проекции центра на плоскость: если $O$ — центр сферы, $O'$ — основание перпендикуляра из $O$ на плоскость, то для любой точки $M$ сечения $OM = R$, а треугольник $OO'M$ прямоугольный, откуда $O'M = \sqrt{R^2-d^2}$ — величина постоянная. Значит, множество точек $M$ — окружность с центром $O'$, а сечение — круг.

Концентрические сферы. Если две сферы имеют общий центр, то расстояния от центра до одной и той же плоскости (или до параллельных плоскостей) связаны простыми соотношениями, а радиусы сечений каждой сферы считаются отдельно по формуле выше через общий $d$ (или через $d_1, d_2$ для параллельных плоскостей).

Касательная плоскость к сфере. Если плоскость касается сферы радиуса $R_1$, то расстояние от центра сферы до этой плоскости равно ровно $R_1$. Это ключевой факт, который часто заменяет отдельное построение.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину. Такое сечение — треугольник, у которого боковые стороны равны образующей конуса $l$, а основание — хорда окружности основания, стягивающая дугу между точками пересечения плоскости с окружностью основания. Осевое сечение (через ось конуса) — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием, равным диаметру $2R$.

Связь центрального угла и угла при вершине конуса. Пусть $A, B$ — точки на окружности основания, $O$ — центр основания, $P$ — вершина конуса. Тогда:

• в треугольнике $AOB$ известны $OA = OB = R$ и центральный угол $\angle AOB$, из теоремы косинусов находится хорда $AB$;
• в треугольнике $APB$ известны $PA = PB = l$ (образующие) и та же хорда $AB$, из теоремы косинусов находится угол $\angle APB$.

Эти два угла — разные величины, их нельзя путать: центральный угол $\angle AOB$ лежит в плоскости основания, а угол $\angle APB$ — в плоскости сечения конуса, содержащей вершину.

Перевод отношения длин дуг в градусы. Если дуги относятся как $m:n$, то полная окружность ($360°$) делится на $m+n$ частей, и меньшая дуга соответствует углу $\dfrac{360°\cdot m}{m+n}$.

Площадь сечения-круга и сечения-треугольника. $$S_{\text{круг}} = \pi r^2, \qquad S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma,$$ где $a, b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Это круг, подобный основанию, с коэффициентом подобия, равным отношению расстояний от вершины до сечения и до основания (или отношению высот).

Сечение цилиндра. Плоскость, параллельная оси, даёт прямоугольник; плоскость, перпендикулярная оси, — круг радиуса, равного радиусу основания.

Как решать: метод и алгоритм

1. Сделать аккуратный чертёж. Отметить центр сферы или основания, ось конуса/цилиндра, точку пересечения плоскости сечения с осью (или её проекцию), все известные длины.
2. Определить тип сечения. Через какие элементы (вершину, ось, центр) проходит плоскость — от этого зависит форма сечения (круг, треугольник, прямоугольник) и какая формула площади нужна.
3. Найти вспомогательные плоские фигуры. Обычно решение сводится к работе с одним-двумя треугольниками: например, треугольник "центр — проекция центра на плоскость — точка сечения" (прямоугольный, теорема Пифагора) или треугольник, образованный двумя образующими и хордой (теорема косинусов).
4. Использовать факты о касании и расстояниях. Если в условии есть касательная плоскость, сразу фиксировать: расстояние от центра до неё равно радиусу той сферы, которой она касается.
5. Если плоскости параллельны, выразить нужные расстояния через общую переменную (например, через $d$ — расстояние от центра до одной из плоскостей), и постараться так скомпоновать формулы, чтобы лишние неизвестные (радиусы сфер по отдельности) сократились — это часто и есть красивый путь к ответу.
6. Вычислить площадь по соответствующей формуле (круг, треугольник) и подставить числа.
7. Для пункта "докажите" — явно опираться на определение (равноудалённость точек от центра сечения → окружность) или на монотонность тригонометрической функции (если сравниваются углы через косинус или синус).

Разбор примера

Пример 1

Условие. Плоскость $\alpha$ пересекает два шара с общим центром. Площадь сечения меньшего шара плоскостью $\alpha$ равна $8$. Плоскость $\beta$, параллельная $\alpha$, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна $5$. а) Докажите, что сечение шара плоскостью $\alpha$ — круг. б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью $\alpha$.

а) Доказательство. Пусть $O$ — общий центр шаров, $R$ — радиус шара, который пересекает плоскость $\alpha$ на расстоянии $d < R$ от центра. Опустим перпендикуляр $OO'$ из центра на плоскость $\alpha$. Для любой точки $M$, лежащей в сечении, $OM = R$ (так как $M$ принадлежит сфере), а $OO' = d$. Из прямоугольного треугольника $OO'M$ получаем $O'M = \sqrt{R^2-d^2}$ — величина, не зависящая от выбора точки $M$. Значит, все точки сечения равноудалены от точки $O'$, то есть сечение является окружностью, а плоская фигура, ограниченная ею, — кругом.

б) Вычисление площади. Пусть $R_1$ — радиус меньшего шара, $R_2$ — радиус большего шара, оба с центром в точке $O$. Пусть $h_\alpha$ — расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$, $h_\beta$ — расстояние от $O$ до плоскости $\beta$.

Так как плоскость $\beta$ касается меньшего шара, расстояние от центра до неё равно радиусу меньшего шара: $$h_\beta = R_1.$$

Площадь сечения меньшего шара плоскостью $\alpha$ равна $8$, значит радиус этого сечения $r_1$ удовлетворяет $$\pi r_1^2 = 8 \;\Rightarrow\; r_1^2 = \frac{8}{\pi}.$$ По формуле сечения сферы: $$r_1^2 = R_1^2 - h_\alpha^2 \;\Rightarrow\; R_1^2 - h_\alpha^2 = \frac{8}{\pi}. \quad (1)$$

Площадь сечения большего шара плоскостью $\beta$ равна $5$, значит радиус этого сечения $r_2'$ удовлетворяет $$\pi (r_2')^2 = 5 \;\Rightarrow\; (r_2')^2 = \frac{5}{\pi}.$$ По той же формуле, с учётом $h_\beta = R_1$: $$(r_2')^2 = R_2^2 - h_\beta^2 = R_2^2 - R_1^2 \;\Rightarrow\; R_2^2 - R_1^2 = \frac{5}{\pi}. \quad (2)$$

Нужно найти площадь сечения большего шара плоскостью $\alpha$: $$S = \pi\left(R_2^2 - h_\alpha^2\right).$$

Заметим, что $$R_2^2 - h_\alpha^2 = \left(R_2^2 - R_1^2\right) + \left(R_1^2 - h_\alpha^2\right).$$

Подставляя (1) и (2): $$R_2^2 - h_\alpha^2 = \frac{5}{\pi} + \frac{8}{\pi} = \frac{13}{\pi}.$$

Тогда $$S = \pi \cdot \frac{13}{\pi} = 13.$$

Ответ: $S = 13$.

Важный приём здесь — не искать сами радиусы $R_1$ и $R_2$ по отдельности (это невозможно без дополнительных данных), а сразу комбинировать уравнения так, чтобы лишние неизвестные сократились.

Пример 2

Условие. Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен $6$, длина образующей равна $9$. На окружности основания выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги в отношении $1:3$. а) Докажите, что $\angle APB < 60°$. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.

Шаг 1. Найти центральный угол. Пусть $O$ — центр основания. Дуги относятся как $1:3$, значит меньшая дуга соответствует углу $$\angle AOB = \frac{360°\cdot 1}{1+3} = 90°.$$

Шаг 2. Найти хорду $AB$. В треугольнике $AOB$: $OA = OB = R = 6$, угол между ними $90°$. По теореме косинусов: $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA\cdot OB\cdot\cos 90° = 36+36-0 = 72,$$ $$AB = 6\sqrt{2}.$$

Шаг 3. Найти угол $\angle APB$. В треугольнике $APB$: $PA = PB = l = 9$ (образующие), $AB = 6\sqrt2$. По теореме косинусов: $$\cos(\angle APB) = \frac{PA^2+PB^2-AB^2}{2\cdot PA\cdot PB} = \frac{81+81-72}{2\cdot 81} = \frac{90}{162} = \frac{5}{9}.$$

а) Доказательство неравенства. Так как $\cos 60° = 0{,}5$, а $\dfrac{5}{9} \approx 0{,}556 > 0{,}5$, и функция косинуса убывает на промежутке $(0°;180°)$, из $\cos(\angle APB) > \cos 60°$ следует $\angle APB < 60°$, что и требовалось доказать.

б) Площадь сечения. Сечение конуса плоскостью $ABP$ — треугольник $APB$ со сторонами $PA=PB=9$ и углом между ними $\angle APB$, для которого $\cos(\angle APB)=\dfrac59$. Найдём синус: $$\sin(\angle APB) = \sqrt{1-\left(\frac{5}{9}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{81}} = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{2\sqrt{14}}{9}.$$

Площадь треугольника: $$S = \frac12\cdot PA\cdot PB\cdot\sin(\angle APB) = \frac12\cdot 9\cdot 9\cdot \frac{2\sqrt{14}}{9} = 9\sqrt{14}.$$

Ответ: $S = 9\sqrt{14}$.

Типичные ошибки

• Путают центральный угол $\angle AOB$ и угол при вершине конуса $\angle APB$. Это углы разных треугольников (в основании и в сечении), их нельзя приравнивать — каждый находится отдельно через свою теорему косинусов.
• Неверно переводят отношение дуг в градусы. Забывают, что сумма частей отношения даёт знаменатель для деления $360°$, либо путают, какая дуга (меньшая или большая) соответствует нужному углу.
• Не используют факт про касательную плоскость. Забывают, что расстояние от центра сферы до касательной к ней плоскости равно радиусу именно этой сферы — без этого факта пример 1 не решается коротким путём.
• Складывают радиусы там, где нужно вычитать (и наоборот). При работе с параллельными плоскостями и двумя сферами легко ошибиться в знаках при выражении $R^2 - h^2$.
• Забывают доказать пункт "а" или делают это неаккуратно, без ссылки на определение окружности (равноудалённость точек) или на монотонность косинуса/синуса.
• Путают радиус основания конуса и радиус сечения. Сечение через вершину использует хорду окружности основания, а не сам радиус $R$ как сторону треугольника.
• Забывают, что боковые стороны сечения через вершину конуса равны именно образующей $l$, а не какой-то другой длине.

На что обратить внимание на экзамене

Всегда оформляйте доказательную часть отдельно и полно, даже если утверждение кажется очевидным — за строгость и полноту рассуждения начисляются баллы. При работе с параллельными плоскостями и концентрическими сферами старайтесь не искать вспомогательные радиусы по отдельности, а сразу комбинировать уравнения — это часто резко сокращает вычисления и снижает риск арифметической ошибки. Проверяйте соответствие единиц измерения: если спрашивают площадь, ответ должен быть в квадратных единицах, а не длина или угол. Перед вычислением синуса или косинуса убедитесь, что угол взят в правильном треугольнике — перепроверьте, какие стороны и какой угол вы используете в теореме косинусов. Наконец, держите в голове стандартный набор формул (сечение сферы, теорема косинусов, площадь треугольника через синус угла) — большинство задач этой подтемы собираются именно из этих трёх-четырёх формул в разных комбинациях.