Угол между прямой и плоскостью — разбор задания 14 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

В задании 14 часто встречается требование найти угол между прямой и плоскостью в многограннике — параллелепипеде, призме, пирамиде. Это классическая стереометрическая задача, которая обычно идёт вторым пунктом после доказательства какого-то геометрического факта (равенства треугольников, деления отрезка пополам и т.п.).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Он всегда лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ (если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, угол равен $0^\circ$; если перпендикулярна — $90^\circ$).

Задача проверяет одновременно два навыка: умение работать с пространственными фигурами (видеть перпендикуляры, проекции, симметрию) и умение применять координатный/векторный метод, когда чистая геометрия слишком громоздка. На экзамене выгоднее всего владеть обоими подходами и выбирать более быстрый в зависимости от конкретной фигуры.

Что нужно знать

Определение угла. Пусть прямая $\ell$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$, а точка $A$ лежит на $\ell$. Опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на плоскость $\alpha$ ($H$ — проекция $A$). Тогда угол между прямой и плоскостью — это угол $\angle AOH$ в прямоугольном треугольнике $AOH$ с прямым углом при вершине $H$.

Из этого треугольника сразу следуют рабочие формулы: $$\sin\varphi = \frac{AH}{OA}, \qquad \tan\varphi = \frac{AH}{OH}, \qquad \cos\varphi = \frac{OH}{OA},$$ где $AH$ — расстояние от точки прямой до плоскости, $OH$ — длина проекции отрезка $OA$ на плоскость.

Векторная (координатная) формула. Если $\vec a$ — направляющий вектор прямой, а $\vec n$ — вектор нормали к плоскости, то $$\sin\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a|\,|\vec n|}.$$ Обратите внимание: здесь именно синус, а не косинус — угол между прямой и плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол между прямой и нормалью, поэтому в формуле стоит синус вместо привычного косинуса угла между векторами. Модуль в числителе нужен, чтобы гарантированно получить неотрицательное значение и угол в диапазоне $[0^\circ,90^\circ]$.

Как найти нормаль плоскости. Если плоскость задана тремя точками $P,Q,R$, берём два вектора в этой плоскости, например $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$, и находим их векторное произведение: $$\vec n = \vec{PQ} \times \vec{PR}.$$ Если плоскость задаётся уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, то нормаль — это просто $\vec n=(A,B,C)$.

Свойства фигур, которые часто пригождаются:

• В прямоугольном параллелепипеде рёбра попарно перпендикулярны, поэтому удобно вводить координаты, совмещая рёбра с осями.
• Диагональ грани прямоугольника с сторонами $p,q$ равна $\sqrt{p^2+q^2}$.
• В правильной пирамиде основание вписано в окружность, апофема и высота образуют прямоугольный треугольник с боковым ребром.
• Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R = \dfrac{a}{\sqrt3}$, а высота бокового ребра пирамиды находится по теореме Пифагора: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$, где $l$ — боковое ребро.
• Средняя линия треугольника или отрезок, соединяющий середины рёбер, часто помогает свести задачу к более простому плоскому чертежу.

Этого набора фактов достаточно для подавляющего большинства задач этой подтемы.

Как решать: метод и алгоритм

Есть два рабочих метода — геометрический и координатный. На экзамене чаще выгоднее координатный, так как он почти не требует догадок, но иногда геометрия быстрее, если в фигуре много симметрии.

Геометрический алгоритм:

1. Найдите точку пересечения прямой с плоскостью (или её продолжения).
2. Из другой точки прямой опустите перпендикуляр на плоскость — найдите проекцию.
3. Постройте прямоугольный треугольник «точка — проекция — точка пересечения».
4. Вычислите длины катетов и гипотенузы, используя теорему Пифагора, подобие треугольников или известные формулы объёма (через двойной подсчёт объёма пирамиды можно найти высоту-перпендикуляр).
5. Найдите нужную тригонометрическую функцию угла и, если нужно, сам угол через arcsin/arctan.

Координатный алгоритм:

1. Введите систему координат так, чтобы как можно больше точек имели простые координаты (обычно совмещают вершину прямого трёхгранного угла с началом координат, а рёбра — с осями).
2. Найдите координаты всех нужных точек.
3. Постройте направляющий вектор прямой $\vec a$ (разность координат двух точек прямой).
4. Найдите нормаль плоскости $\vec n$ через векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.
5. Подставьте в формулу $\sin\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a||\vec n|}$.
6. Запишите ответ как arcsin (или, если удобнее, вычислите $\tan\varphi$ и запишите arctan).

Важно: ответ в задании 14 обычно нужно давать в виде arcsin, arctg или числа (если угол «красивый», например $30^\circ,45^\circ,60^\circ$). Проверяйте, какой вид ответа проще получить — иногда быстрее найти $\tan\varphi$ через прямоугольный треугольник, чем возиться с векторным произведением.

Разбор примера

Пример 1

Условие. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $AA_1=8$, $AB=6$, $BC=15$. а) Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$ — равные треугольники. б) Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и прямой $BC_1$.

Часть а) — кратко. Диагонали граней параллелепипеда равны: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$, $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}$, $B_1C=\sqrt{BC^2+CC_1^2}$ и так далее. У тетраэдра $ACB_1D_1$ каждая грань — треугольник, стороны которого являются как раз диагоналями трёх разных граней параллелепипеда, и эти длины одинаковы для всех четырёх граней тетраэдра (по свойству прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны). Поэтому по признаку равенства треугольников (по трём сторонам) все грани тетраэдра равны — тетраэдр равногранный.

Часть б) — подробно, координатный метод.

Введём систему координат: $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(6,15,0)$, $D=(0,15,0)$, а верхние вершины получаются сдвигом на $AA_1=8$ по оси $z$: $$A_1=(0,0,8),\quad B_1=(6,0,8),\quad C_1=(6,15,8),\quad D_1=(0,15,8).$$

Шаг 1. Направляющий вектор прямой $BC_1$. $$\vec{BC_1} = C_1 - B = (6-6,\,15-0,\,8-0) = (0,15,8).$$

Шаг 2. Нормаль плоскости $A_1BC$. Возьмём два вектора в плоскости: $\vec{BA_1}=A_1-B=(-6,0,8)$ и $\vec{BC}=C-B=(0,15,0)$.

Найдём векторное произведение: $$\vec n = \vec{BA_1}\times\vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -6 & 0 & 8 \\ 0 & 15 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 8\cdot15,\; -((-6)\cdot0 - 8\cdot0),\; (-6)\cdot15 - 0\cdot0) = (-120,\,0,\,-90).$$

Упростим, разделив на $-30$: $\vec n = (4,0,3)$.

Шаг 3. Подставим в формулу синуса угла. $$\vec a \cdot \vec n = 0\cdot4 + 15\cdot0 + 8\cdot3 = 24.$$ $$|\vec a| = \sqrt{0^2+15^2+8^2} = \sqrt{289}=17, \qquad |\vec n| = \sqrt{4^2+0^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$ $$\sin\varphi = \frac{|24|}{17\cdot5} = \frac{24}{85}.$$

Ответ: $\varphi = \arcsin\dfrac{24}{85}$.

Здесь координатный метод сработал быстро именно потому, что параллелепипед прямоугольный — оси координат сразу совпадают с рёбрами.

Пример 2

Условие. Правильная треугольная пирамида $SABC$: $AB = 21\sqrt3$, $SC = 29$. Точки $M,N$ — середины $AS$ и $BC$. а) Докажите, что $MN$ делится пополам высотой пирамиды, проведённой из $S$. б) Найдите угол между плоскостью основания и прямой $MN$.

Подготовка. Так как пирамида правильная, апекс $S$ проецируется в центр $O$ описанной окружности основания, а все боковые рёбра равны: $SA=SB=SC=29$. Сторона основания $a=21\sqrt3$, значит радиус описанной окружности $$R = \frac{a}{\sqrt3} = \frac{21\sqrt3}{\sqrt3}=21.$$ Высота пирамиды по теореме Пифагора из треугольника $SOA$: $$H = \sqrt{SA^2 - R^2} = \sqrt{29^2-21^2} = \sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20.$$

Координаты. Пусть $O=(0,0,0)$ — центр основания, $S=(0,0,20)$. Разместим $A=(21,0,0)$, а $B,C$ — на окружности радиуса $21$ через $120^\circ$: $$B=\left(-10.5,\;10.5\sqrt3,\;0\right),\qquad C=\left(-10.5,\;-10.5\sqrt3,\;0\right).$$

Шаг 1. Найдём $M$ и $N$. $$M = \text{середина } AS = \left(\frac{21+0}{2},0,\frac{0+20}{2}\right) = (10.5,\,0,\,10).$$ $$N = \text{середина } BC = \left(-10.5,\,0,\,0\right)$$ (так как $y$-координаты $B$ и $C$ противоположны и сокращаются).

Часть а). Высота пирамиды из $S$ — это прямая $x=0,\,y=0$ (ось $z$, от $O$ до $S$). Найдём середину отрезка $MN$: $$\text{середина } MN = \left(\frac{10.5+(-10.5)}{2},\,0,\,\frac{10+0}{2}\right) = (0,0,5).$$ Эта точка имеет $x=0,\,y=0$ — значит, она лежит на прямой высоты пирамиды. Тем самым доказано, что высота, проведённая из $S$, проходит через середину $MN$, то есть делит этот отрезок пополам.

Часть б). Направляющий вектор прямой $MN$: $$\vec{MN} = N-M = (-10.5-10.5,\;0-0,\;0-10) = (-21,\,0,\,-10).$$

Плоскость основания — это плоскость $z=0$, её нормаль $\vec n=(0,0,1)$.

Используем формулу синуса: $$\sin\varphi = \frac{|\vec{MN}\cdot\vec n|}{|\vec{MN}|\,|\vec n|} = \frac{|-10|}{\sqrt{21^2+0^2+10^2}\cdot 1} = \frac{10}{\sqrt{441+100}} = \frac{10}{\sqrt{541}}.$$

Чтобы получить ответ в виде арктангенса (как в эталонном ответе), удобнее рассуждать через проекцию на плоскость: проекция вектора $\vec{MN}$ на плоскость $z=0$ — это вектор $(-21,0,0)$ длиной $21$, а «высота» (изменение по $z$) равна $10$. Тогда угол между прямой и плоскостью находится из прямоугольного треугольника: $$\tan\varphi = \frac{|\Delta z|}{|\text{проекция}|} = \frac{10}{21}.$$

Ответ: $\varphi = \operatorname{arctg}\dfrac{10}{21}$.

Этот пример показывает удобный приём: если нормаль плоскости — просто ось $z$ (плоскость основания горизонтальна), угол находится через отношение «вертикального перепада» к «горизонтальному смещению» — не нужно даже вычислять векторное произведение.

Типичные ошибки

• Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью. Это дополнительные углы, поэтому в формуле стоит именно синус, а не косинус. Если случайно посчитать косинус угла между $\vec a$ и $\vec n$, получится косинус угла между прямой и нормалью — это не тот угол, который спрашивают в задаче.
• Забывают модуль в числителе. Скалярное произведение может быть отрицательным из-за выбора направления вектора — но угол всегда неотрицательный, поэтому обязательно берите модуль.
• Ошибка в векторном произведении. Самая частая техническая ошибка — перепутанный знак при вычислении определителя $3\times3$. Проверяйте вычисления построчно и, если есть время, — по правилу «крест-накрест».
• Путают проекцию точки с проекцией отрезка. При построении прямоугольного треугольника важно, чтобы вершина прямого угла действительно была основанием перпендикуляра, а не произвольной точкой плоскости.
• Неправильно выбирают систему координат — если оси не совмещены с перпендикулярными рёбрами, вычисления становятся куда длиннее и появляется риск ошибки.
• Забывают, что угол должен быть в диапазоне $[0^\circ,90^\circ]$. Если в результате вычислений получился «тупой» аргумент арккосинуса, скорее всего где-то потерян модуль или перепутан знак.
• Не проверяют результат через альтернативный метод. Если позволяет время, полезно проверить синус угла через геометрическое построение прямоугольного треугольника — это подтверждает правильность координатных вычислений.

На что обратить внимание на экзамене

При решении части б) задания 14 всегда чётко определяйте, что является прямой и что — плоскостью в условии: часто плоскость задаётся тремя буквами (например, $A_1BC$), а прямая — двумя точками, одна из которых может не лежать в этой плоскости. Не путайте порядок точек в векторах — направление вектора не влияет на итоговый угол благодаря модулю, но сама разница координат должна быть посчитана верно.

Перед тем как выбрать координатный метод, оцените, насколько «удобна» фигура: в прямоугольном параллелепипеде оси координат почти всегда совпадают с рёбрами, а в правильной пирамиде центр основания — естественное начало координат. В обоих разобранных примерах именно такой выбор системы координат сделал вычисления короткими.

Окончательный ответ записывайте в той форме, которая ожидается — arcsin, arctg или числовое значение угла, если он «красивый» ($30^\circ,45^\circ,60^\circ$). Если получили $\sin\varphi$ или $\tan\varphi$ в виде дроби, но не уверены, какую функцию использовать, вспомните, что при работе с проекцией на горизонтальную плоскость (когда нормаль — это просто вертикальная ось) тангенс находится напрямую как отношение «высоты» к «горизонтальному сдвигу», без всякого векторного произведения — это экономит время.

Обязательно указывайте промежуточные шаги: координаты точек, вектор нормали, вычисление скалярного произведения и длин. В критериях ЕГЭ по этому заданию баллы часто снимают именно за отсутствие обоснования, даже если финальный численный ответ верен.