Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Введём систему координат: $B(-4,0,0)$, $C(4,0,0)$ (так как $BC=8$), тогда $A(0,3,0)$, поскольку $AB=AC=5$ даёт $\sqrt{16+y^2}=5\Rightarrow y=3$. Высота призмы равна 3, значит $A_1(0,3,3)$, $B_1(-4,0,3)$, $C_1(4,0,3)$, а $M$ — середина $B_1C_1$: $M(0,0,3)$.

а) Плоскость $BCC_1$ задаётся уравнением $y=0$ (все её точки имеют нулевую $y$-координату). Вектор $\vec{A_1M}=(0,-3,0)$ направлен вдоль оси $y$, то есть перпендикулярен этой плоскости: $A_1M\perp(BCC_1)$. Это следует из того, что треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный ($A_1B_1=A_1C_1=5$), поэтому медиана $A_1M$ к основанию $B_1C_1$ является и высотой, а из-за того, что призма прямая, эта высота лежит перпендикулярно плоскости боковой грани $BCC_1$. Так как плоскость $BA_1M$ содержит прямую $A_1M$, перпендикулярную плоскости $BCC_1$, по признаку перпендикулярности плоскостей $BA_1M\perp BCC_1$.

б) Угол между прямой $A_1B$ и плоскостью $BCC_1$ равен углу между $A_1B$ и её проекцией на эту плоскость. Так как $A_1M\perp(BCC_1)$, проекцией точки $A_1$ служит точка $M$, а проекцией отрезка $A_1B$ — отрезок $BM$. Значит, искомый угол — это $\angle A_1BM$, причём треугольник $A_1BM$ прямоугольный с прямым углом при $M$.

Найдём длины: $A_1M=|(0,-3,0)|=3$; $BM=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Тогда $$\tan\angle A_1BM=\frac{A_1M}{BM}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{3}{5}$.