Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Обозначения. Пусть $L$ — середина $AB$, $E$ — середина $AC$.

Шаг 1. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, поэтому медиана $BE$ является и высотой: $BE\perp AC$.

Шаг 2. $AC=16\Rightarrow AE=8$. Так как $AM:MC=1:3$, получаем $AM=4$, $MC=12$. Тогда $ME=AE-AM=4=AM$, то есть $M$ — середина $AE$. Значит, $LM$ — средняя линия треугольника $ABE$ (соединяет середины $AB$ и $AE$), поэтому $LM\parallel BE$. Так как $BE\perp AC$, то и $LM\perp AC$.

Шаг 3. Призма прямая, значит $AA_1\perp$ плоскости $ABC$. $K$ и $L$ — середины параллельных ребер $A_1B_1$ и $AB$, поэтому $KL\parallel AA_1$ и $KL=AA_1=6$, а значит $KL\perp$ плоскости $ABC$.

Шаг 4 (доказательство п. а)). Так как $KL\perp$ плоскости $ABC$, а $AC$ лежит в этой плоскости, то $KL\perp AC$. Вместе с $LM\perp AC$ это означает, что $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $L$ прямым плоскости $KLM$, значит $AC\perp$ плоскости $KLM$, а следовательно $AC\perp KM$.

Шаг 5 (угол с плоскостью). Так как $KL\perp$ плоскости $ABC$, проекцией точки $K$ на эту плоскость служит $L$, а проекцией отрезка $KM$ — отрезок $LM$. Значит искомый угол между $KM$ и плоскостью $ABC$ равен $\angle KML$.

Шаг 6. В прямоугольном треугольнике $ALM$ (прямой угол при $M$, так как $LM\perp AC$): $AL=\dfrac{AB}{2}=6$, $AM=4$, поэтому $$LM=\sqrt{AL^2-AM^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$

Шаг 7. В прямоугольном треугольнике $KLM$ (прямой угол при $L$, так как $KL\perp$ плоскости $ABC \Rightarrow KL\perp LM$): $$\tan\angle KML=\frac{KL}{LM}=\frac{6}{2\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt5}.$$

Следовательно, угол между $KM$ и плоскостью $ABC$ равен $\arctan\dfrac{3}{\sqrt5}$.