Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Так как призма прямая, $AA_1\perp(ABC)$, и $A_1B=A_1C=\sqrt{AA_1^2+AB^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ (стороны равны из-за симметрии треугольника ABC). По теореме косинусов $\cos\angle BA_1C=\dfrac{A_1B^2+A_1C^2-BC^2}{2\cdot A_1B\cdot A_1C}=\dfrac{34+34-64}{2\cdot34}=\dfrac{4}{68}>0$, значит угол при вершине острый. А углы при основании равнобедренного треугольника $A_1BC$ всегда острые (их сумма $180^\circ-\angle BA_1C<180^\circ$, и они равны между собой, поэтому каждый меньше $90^\circ$). Значит, все три угла острые — треугольник остроугольный.

б) Пусть $M$ — середина $BC$ (в верхнем основании) и $M_1$ — середина $BC$ (в нижнем). Так как $ABC$ — равнобедренный, $AM_1\perp BC$ и аналогично $A_1M\perp B_1C_1$. Из-за перпендикулярности боковых ребер основаниям прямая $BC$ перпендикулярна и $AA_1$, и $AM_1$, следовательно $BC\perp(AA_1M)$, а значит $A_1M\perp(BCC_1B_1)$. Тогда проекция точки $A_1$ на плоскость $BCC_1$ — это $M$, а проекция прямой $A_1B$ — прямая $BM$. Искомый угол — это $\angle A_1BM$.

Найдём $BM$: в прямоугольнике $BCC_1B_1...$ верно, $BM_1=\dfrac{BC}{2}=4$, $M_1M=BB_1=3$ (высота призмы), поэтому по теореме Пифагора $BM=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Высота $A_1M$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ равна высоте $AM_1$ исходного треугольника: $A_1M=\sqrt{A_1B_1^2-B_1M^2}=\sqrt{25-16}=3$.

Треугольник $A_1BM$ прямоугольный (катет $A_1M\perp$ плоскости, значит $A_1M\perp BM$), поэтому $\tan\angle A_1BM=\dfrac{A_1M}{BM}=\dfrac{3}{5}$, значит $\angle A_1BM=\arctan\dfrac{3}{5}$.