Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Точка $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. В правильной пирамиде $SO$ проходит через центр правильного треугольника $ABC$, то есть $O$ — точка пересечения медиан (высот) треугольника. Значит $CO\perp AB$ (высота равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию). Так как $SO\perp(ABC)$, а $CO$ — проекция $SC$ на плоскость основания, по теореме о трёх перпендикулярах из $CO\perp AB$ следует $SC\perp AB$.

б) Пусть $SO=5x$, $SM=7x$ ($M$ — середина $AB$, $SM$ — апофема боковой грани). В прямоугольном треугольнике $SOM$ ($\angle SOM=90^\circ$): $$OM=\sqrt{SM^2-SO^2}=\sqrt{49x^2-25x^2}=x\sqrt{24}=2x\sqrt6.$$ Точка $O$ — центроид треугольника $ABC$, а $CM$ — медиана, поэтому центроид делит её в отношении $2:1$ от вершины: $CO=2\,OM=4x\sqrt6.$

Угол между ребром $SC$ и плоскостью основания — это угол между $SC$ и её проекцией $OC$, то есть $\angle SCO$. Из прямоугольного треугольника $SOC$: $$\tan\angle SCO=\dfrac{SO}{OC}=\dfrac{5x}{4x\sqrt6}=\dfrac{5}{4\sqrt6}=\dfrac{5\sqrt6}{24}.$$ Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{5\sqrt6}{24}$.