Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

1. Пирамида правильная, поэтому все боковые рёбра равны: $SA=SB=SC=29$, а основание — равносторонний треугольник со стороной $AB=21\sqrt3$.

2. Высота пирамиды $SO$ падает в центр основания $O$ — точку пересечения медиан треугольника $ABC$. Так как $N$ — середина $BC$, отрезок $AN$ — медиана из вершины $A$, и она проходит через $O$. По свойству центроида $AO=\frac{2}{3}AN$, $ON=\frac{1}{3}AN$.

3. Прямая $AS$ проецируется на плоскость основания в прямую $AN$ (проекция $S$ — точка $O$, лежащая на $AN$). Значит проекция середины $M$ отрезка $AS$ — точка $M_1$ на $AN$, причём $MM_1\parallel SO$ (обе перпендикулярны плоскости). Тогда $MM_1$ — средняя линия треугольника $ASO$, поэтому $M_1$ — середина $AO$, то есть $AM_1=\frac12 AO=\frac13 AN$.

4. Отсюда $M_1O=AO-AM_1=\frac13AN=ON$, то есть $O$ — середина отрезка $M_1N$ (проекции $MN$). Ортогональная проекция сохраняет отношение делений отрезка, поэтому точка пересечения высоты $SO$ с самой прямой $MN$ также делит $MN$ пополам — это доказывает пункт а).

5. Угол между прямой $MN$ и плоскостью основания равен углу между $MN$ и её проекцией $M_1N$, то есть $\angle MNM_1$.

6. Найдём длины: $AN=\frac{\sqrt3}{2}AB=\frac{\sqrt3}{2}\cdot21\sqrt3=\frac{63}{2}$; $AM_1=\frac13AN=\frac{21}{2}$; $M_1N=2AM_1=21$.

7. $AM=\frac{SA}{2}=\frac{29}{2}$. В прямоугольном треугольнике $AM_1M$ (угол при $M_1$ прямой, так как $MM_1\perp$ плоскости): $$MM_1=\sqrt{AM^2-AM_1^2}=\sqrt{\left(\frac{29}{2}\right)^2-\left(\frac{21}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{29-21}{2}\right)\left(\frac{29+21}{2}\right)}=\sqrt{4\cdot25}=10.$$

8. В прямоугольном треугольнике $MM_1N$: $$\tan\angle MNM_1=\frac{MM_1}{M_1N}=\frac{10}{21}.$$

Ответ: $\arctan\dfrac{10}{21}$.