Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

1. Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны: $SA=SB=SC=25$. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания служит центр $O$ правильного треугольника $ABC$ — точка пересечения медиан, а медианы делятся в отношении $2:1$ от вершины, значит $AO:ON=2:1$, где $N$ — середина $BC$.

2. Прямая $SA$ проецируется на плоскость основания в прямую $AN$ (проекция точки $S$ лежит на этой прямой, так как $O\in AN$). Так как $M$ — середина $SA$, а проекция сохраняет отношение отрезков вдоль прямой (при параллельном проектировании на плоскость перпендикулярно $SO$), проекция $M_1$ точки $M$ — середина отрезка $AO$. Отсюда $AM_1=M_1O=ON$, то есть точки $O$ и $M_1$ делят $AN$ на три равные части — что и требовалось доказать.

3. Найдём длину медианы (и высоты) равностороннего треугольника: $AN=\dfrac{\sqrt3}{2}AB=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot7\sqrt3=\dfrac{21}{2}$.

4. Так как проекция прямой $MN$ на основание — это прямая $M_1N$, угол между $MN$ и плоскостью основания равен углу $\angle MNM_1$ (угол между наклонной и её проекцией).

5. Из пункта 2: $AM_1=\dfrac13 AN=\dfrac{7}{2}$, значит $M_1N=AN-AM_1=\dfrac{21}{2}-\dfrac{7}{2}=7$.

6. Отрезок $MM_1$ перпендикулярен плоскости основания (это высота точки $M$ над плоскостью, аналогично $SO$), поэтому треугольник $AMM_1$ прямоугольный с прямым углом при $M_1$. По теореме Пифагора: $MM_1=\sqrt{AM^2-AM_1^2}$, где $AM=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{25}{2}$. Тогда $MM_1=\sqrt{\left(\dfrac{25}{2}\right)^2-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{625-49}{4}}=\sqrt{144}=12$.

7. В прямоугольном треугольнике $MM_1N$ (прямой угол при $M_1$) искомый угол $\angle MNM_1$ находится через тангенс: $\operatorname{tg}\angle MNM_1=\dfrac{MM_1}{M_1N}=\dfrac{12}{7}$.

Следовательно, угол между прямой $MN$ и плоскостью основания равен $\operatorname{arctg}\dfrac{12}{7}$.