Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Параллельность OK и плоскости MNC₁

Так как $BM:MC=2:1$ и $CN:NA=2:1$, отрезок $MN$ по теореме о пропорциональных отрезках параллелен $AB$, а треугольник $CMN$ подобен $CAB$ с коэффициентом $1/3$.

Пусть $T$ — середина $MN$. Тогда $CT$ — медиана (и высота) подобного треугольника, лежащая на прямой $CK$ (медиане исходного треугольника, $K$ — середина $AB$). Из подобия $CT:CK=1/3$, значит $TK=\dfrac23 CK$.

Поскольку $O$ — центр правильного треугольника $A_1B_1C_1$, он делит медиану $C_1K_1$ в отношении $2:1$ от вершины, поэтому $C_1O=\dfrac23 C_1K_1=\dfrac23 CK$ (треугольники равны).

Таким образом $TK=C_1O$. Прямые $CK$ и $C_1O$ лежат в плоскости $KCC_1$, перпендикулярной $AB$ и $A_1B_1$ (боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям), а сами плоскости оснований параллельны, значит $CK\parallel C_1O$. Вместе с равенством длин это даёт, что $TKOC_1$ — параллелограмм, следовательно $KO\parallel C_1T$.

Прямая $C_1T$ лежит в плоскости $C_1MN$, а значит $KO\parallel$ плоскости $MNC_1$, что и требовалось доказать.

б) Угол между OK и плоскостью основания

Так как $KO\parallel C_1T$, искомый угол равен углу между $C_1T$ и плоскостью $ABC$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, поэтому проекция $C_1$ на плоскость $ABC$ — точка $C$, а проекция наклонной $C_1T$ — отрезок $CT$. Тогда искомый угол — это угол $C_1TC$ прямоугольного треугольника $C_1CT$ (прямой угол при $C$), и $$\cos\angle C_1TC=\frac{CT}{C_1T}.$$

Треугольники $CMN$ и $C_1MN$ имеют общую сторону $MN$, а их высоты, опущенные на эту сторону, равны $CT$ и $C_1T$. Значит $$\frac{CT}{C_1T}=\frac{S_{CMN}}{S_{C_1MN}}.$$

Площадь основания: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}(6\sqrt3)^2=27\sqrt3$.

По коэффициенту подобия $S_{CMN}=\dfrac19 S_{ABC}=3\sqrt3$.

Тогда $$\cos\angle C_1TC=\frac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac12,$$ откуда угол равен $\arccos\dfrac12=\dfrac{\pi}{3}$.