Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани — равные прямоугольники, поэтому равны их диагонали: $AC=B_1D_1$, $CB_1=AD_1$, $AB_1=CD_1$ (диагонали граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$, $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ соответственно). Тогда каждая из четырёх граней тетраэдра $ACB_1$, $ACD_1$, $AB_1D_1$, $CB_1D_1$ состоит из тех же трёх длин $AC,CB_1,AB_1$, только по‑разному расставленных. По третьему признаку равенства треугольников (равенство трёх сторон) все грани равны.

б) Диагональное сечение $A_1BCD_1$ — прямоугольник, так как $A_1D_1\parallel BC$ и $A_1D_1=BC$. Найдём перпендикуляр $C_1H$ к $CD_1$ в грани $DCC_1D_1$: в прямоугольном треугольнике $D_1C_1C$ ($D_1C_1=AB=6$, $C_1C=AA_1=8$) находим гипотенузу $D_1C=\sqrt{6^2+8^2}=10$, тогда высота $$C_1H=\dfrac{D_1C_1\cdot C_1C}{D_1C}=\dfrac{6\cdot8}{10}=\dfrac{24}{5}.$$ Так как $CB\perp CD$ и $CB\perp CC_1$, то $CB\perp$ плоскости $DCC_1D_1$, а значит $CB\perp C_1H$. Вместе с $C_1H\perp CD_1$ получаем $C_1H\perp$ плоскости $A_1BC$ — это высота из $C_1$ на искомую плоскость.

Проекция $BC_1$ на плоскость $A_1BC$ — отрезок $BH$, поэтому искомый угол равен $\angle C_1BH$.

В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ ($BC=15$, $CC_1=8$) находим гипотенузу: $$BC_1=\sqrt{15^2+8^2}=17.$$

В прямоугольном треугольнике $C_1HB$ синус искомого угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе: $$\sin\angle B=\dfrac{C_1H}{BC_1}=\dfrac{24/5}{17}=\dfrac{24}{85}.$$

Следовательно, угол между плоскостью $A_1BC$ и прямой $BC_1$ равен $\arcsin\dfrac{24}{85}$.