Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(2,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(2,0,1)$, $C_1(2,1,1)$.

Плоскость $BCC_1B_1$ — это плоскость $x=2$, её нормаль $(1,0,0)$. Плоскость $ABC_1$ задана векторами $\vec{AB}=(2,0,0)$ и $\vec{AC_1}=(2,1,1)$; нормаль к ней $\vec{AB}\times\vec{AC_1}=(0,-2,2)\parallel(0,-1,1)$. Скалярное произведение нормалей $(1,0,0)\cdot(0,-1,1)=0$, значит плоскости $ABC_1$ и $BB_1C_1$ перпендикулярны, а их линия пересечения — прямая $BC_1$.

Если из точки $B_1$, лежащей в плоскости $BB_1C_1$, провести перпендикуляр к линии пересечения $BC_1$ (это и есть высота $B_1E$ треугольника $BB_1C_1$), то по свойству перпендикулярных плоскостей этот перпендикуляр окажется перпендикулярен всей плоскости $ABC_1$. Значит $B_1E\perp(ABC_1)$, и точка $E$ — основание перпендикуляра, то есть $AE$ — проекция наклонной $AB_1$ на плоскость $ABC_1$.

б) Искомый угол между $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$ равен углу между наклонной и её проекцией, то есть $\angle B_1AE$, где $B_1E\perp AE$.

В треугольнике $BB_1C_1$: $BB_1=1$, $B_1C_1=1$, угол при $B_1$ прямой (векторы $BB_1$ и $B_1C_1$ перпендикулярны), значит $BC_1=\sqrt{BB_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{2}$. Высота к гипотенузе: $B_1E=\dfrac{BB_1\cdot B_1C_1}{BC_1}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Длина $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5$ (так как $AB_1$ — диагональ прямоугольника $ABB_1A_1$).

В прямоугольном треугольнике $AB_1E$ (прямой угол при $E$) синус искомого угла: $$\sin\angle B_1AE=\dfrac{B_1E}{AB_1}=\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt5}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}.$$

Следовательно, $\angle B_1AE=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{10}}$.