Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Точки $A_1$ и $O$ лежат сразу в двух плоскостях — в плоскости $DA_1C_1$ и в плоскости $BCD_1$ (проверяется подстановкой координат вершин), поэтому прямая $A_1O$ — это линия пересечения этих двух плоскостей. Так как отрезок $BD_1$ целиком лежит в плоскости $BCD_1$, его пересечение с плоскостью $DA_1C_1$ обязано лежать именно на прямой $A_1O$ — это и есть точка $F$.

Диагонали параллельных граней $BA_1$ и $CD_1$ параллельны и равны $a\sqrt2$, а $D_1O$ — половина диагонали грани $CDD_1C_1$, то есть $D_1O=\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Из параллельности $BA_1\parallel D_1O$ треугольники $BFA_1$ и $D_1FO$ подобны (равные накрест лежащие и вертикальные углы), а коэффициент подобия равен $\dfrac{BA_1}{D_1O}=2$. Отсюда $$\frac{BF}{FD_1}=\frac{A_1F}{FO}=2:1,$$ что и требовалось.

б) Сначала докажем, что $BD_1\perp$ плоскости $DA_1C_1$. Проекция $B$ на грань $CDD_1C_1$ — точка $C$, поэтому проекция $BD_1$ на эту грань — диагональ $CD_1$; в квадрате диагонали перпендикулярны, значит $CD_1\perp DC_1$, и по теореме о трёх перпендикулярах $BD_1\perp DC_1$. Аналогично, проекция $BD_1$ на основание $ABCD$ — диагональ $BD$, перпендикулярная диагонали $AC\parallel A_1C_1$, значит $BD_1\perp A_1C_1$. Так как $DC_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в плоскости $DA_1C_1$, получаем $BD_1\perp DA_1C_1$, а точка $F$ — проекция $B$ на эту плоскость.

$MN$ — средняя линия треугольника $ABA_1$, значит $MN\parallel BA_1$, и искомый угол равен углу между $BA_1$ и плоскостью, то есть углу $BA_1F$.

В прямоугольном треугольнике $A_1D_1B$ (прямой угол при $A_1$) $\tan\angle A_1BD_1=\dfrac{A_1D_1}{A_1B}=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$.

В треугольнике $BA_1F$ угол $F$ прямой, поэтому $$\angle BA_1F=90^\circ-\angle A_1BF=90^\circ-\arctan\frac1{\sqrt2}=\arctan\sqrt2.$$