Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Обозначим ребро тетраэдра $2a$.

а) Проекция вершины $B$ на плоскость $ACD$ у правильного тетраэдра совпадает с центром (точкой пересечения медиан) грани $ACD$ — обозначим её $B'$. Так как $B'$ — центроид треугольника $ACD$, она лежит на каждой медиане, в частности на $AP$ (где $P$ — середина $CD$). Точка $A$ лежит в плоскости $ACD$, поэтому её проекция — сама точка $A$. Проекция отрезка $AB$ — отрезок $AB'$, значит проекция середины $M$ отрезка $AB$ — это середина $AB'$, то есть точка $M'$. Так как $AB'=\frac{2}{3}AP$, то $AM'=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{3}AP$, то есть $M'$ делит $AP$ в отношении $1:2$ от $A$.

б) Угол между $DM$ и плоскостью равен углу между $DM$ и её проекцией $DM'$, то есть $\angle MDM'$.

$AP$ и $DM$ — медианы равносторонних треугольников со стороной $2a$: $AP=DM=a\sqrt3$.

$AB'=\frac23 AP=\frac{2a\sqrt3}{3}$.

Высота тетраэдра: $BB'=\sqrt{AB^2-AB'^2}=\sqrt{4a^2-\frac{4a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt6}{3}$.

$M$ — середина $AB$, поэтому $MM'=\frac12 BB'=\frac{a\sqrt6}{3}$.

$$\sin\angle MDM'=\frac{MM'}{DM}=\frac{a\sqrt6/3}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt2}{3}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arcsin\dfrac{\sqrt2}{3}$.