Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Возьмём плоскость основания $ABC$. Проекцией точки $C'$ на эту плоскость служит точка $C$, значит проекция прямой $AC'$ на плоскость основания — это прямая $AC$. В правильном шестиугольнике диагонали $AC$ и $BE$ пересекаются под прямым углом (это следует из симметрии шестиугольника). По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Значит $AC'\perp BE$.

б) Введём координаты, удобные для правильного шестиугольника со стороной 1: $A(0;0;0)$, $C\left(\frac32;\frac{\sqrt3}2;0\right)$, $C'\left(\frac32;\frac{\sqrt3}2;1\right)$, $D'(1;\sqrt3;1)$. Тогда $\vec{AC'}=\left(\frac32;\frac{\sqrt3}2;1\right)$.

Плоскость $ACD'$ проходит через начало координат, её уравнение $Ax+By+Cz=0$. Подставив координаты $C$ и $D'$, получаем систему $\frac32A+\frac{\sqrt3}2B=0$, $A+\sqrt3B+C=0$. Полагая $A=1$, находим $B=-\sqrt3$, $C=2$. Получаем уравнение плоскости $x-\sqrt3y+2z=0$ и вектор нормали $\vec n=(1;-\sqrt3;2)$.

Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью связан с углом между направляющим вектором прямой и нормалью формулой $\sin\varphi=\dfrac{|\vec{AC'}\cdot\vec n|}{|\vec{AC'}||\vec n|}$ (синус угла к плоскости равен косинусу угла к нормали).

Считаем: $\vec{AC'}\cdot\vec n=\frac32-\frac32+2=2$; $|\vec{AC'}|=\sqrt{\frac94+\frac34+1}=2$; $|\vec n|=\sqrt{1+3+4}=2\sqrt2$.

Тогда $\sin\varphi=\dfrac{2}{2\cdot2\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.

Следовательно, $\varphi=\arcsin\dfrac{1}{2\sqrt2}=\arcsin\dfrac{\sqrt2}{4}$.