Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Плоскость $AMB$ пересекает грань $B_1C_1C$ по отрезку, параллельному $AB$ (так как $M$ – середина $A_1C_1$, а сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину противоположной стороны верхнего, всегда даёт трапецию). Получаем трапецию $AMNB$, где $N$ – середина $B_1C_1$. Пусть $P,T$ – середины оснований $MA$ и $AB$ трапеции, $L$ – середина $A_1B_1$. Точки $T,P$ лежат в плоскости $CC_1L$, и прямая $TP$ пересекает диагонали трапеции в точке $I$ ровно в той же пропорции, в какой $C_1O$ делится в этой плоскости (по свойству медиан треугольника $C_1TL$, ведь $TP$ и $C_1O$ — его медианы). Значит точка пересечения диагоналей сечения совпадает с точкой пересечения медиан, т.е. лежит на отрезке $C_1O$, что и требовалось.

б) Введём координаты: центр нижнего основания — начало, ось $z$ — вверх. Тогда $C_1(0;0;2)$, $O(\sqrt3;3;1)$, $A(2\sqrt3;2;0)$, $M(\sqrt3;1;2)$, $B(0;4;0)$.

Вектор $\overrightarrow{C_1O}=(\sqrt3;3;-1)$, его длина $|\overrightarrow{C_1O}|=\sqrt{13}$ — это следует из того, что $C_1O$ — диагональ прямоугольника со сторонами $2\sqrt3$ (проекция) и $1$ (по высоте), корень из $12+1$.

Составим уравнение плоскости $AMB$ по трём точкам: $\dfrac{\sqrt3}{3}x+y+z-4=0$. Отсюда нормаль $\vec n=\left(\dfrac{\sqrt3}{3};1;1\right)$, $|\vec n|=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.

Угол между прямой и плоскостью находим по формуле $\sin\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\overrightarrow{C_1O}|}{|\vec n|\,|\overrightarrow{C_1O}|}$ (синус равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью, потому что угол с плоскостью и угол с нормалью — дополнительные).

Скалярное произведение: $1+3-1=3$, поэтому $$\sin\varphi=\dfrac{3}{\frac{\sqrt{21}}{3}\cdot\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt3}{\sqrt{91}}.$$

Проверка: $\cos\varphi=\sqrt{1-\dfrac{27}{91}}=\dfrac{8}{\sqrt{91}}$, что совпадает с ответом, полученным через теорему косинусов в треугольнике $C_1IP$.

Итоговый угол: $\varphi=\arcsin\dfrac{3\sqrt3}{\sqrt{91}}=\arccos\dfrac{8}{\sqrt{91}}$.