Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) В прямоугольном параллелепипеде каждая пара противоположных боковых граней — равные прямоугольники (стороны совпадают, углы прямые). У равных прямоугольников равны и диагонали. Диагонали граней являются рёбрами тетраэдра $ACB_1D_1$: диагонали граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ дают $AC=B_1D_1$, диагонали граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ дают $CB_1=AD_1$, диагонали граней $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ дают $AB_1=CD_1$. Таким образом все четыре грани тетраэдра имеют одинаковый набор из трёх сторон, значит по третьему признаку равенства треугольников все они равны.

б) Определим стороны параллелепипеда: $AA_1=4$, $AD=A_1D_1=6$, $AB=C_1D_1=6$.

Плоскость $ADD_1A_1$ содержит ребро $AD$ и высоту $AA_1$, а $AB$ перпендикулярно и $AD$, и $AA_1$, значит $AB\perp ADD_1A_1$. Тогда грань $BCC_1B_1$, содержащая продолжение направления $AB$, параллельна плоскости $ADD_1A_1$ (так как $AB$ — общая перпендикулярная им прямая). Поэтому угол между прямой $EF$ и плоскостью $ADD_1A_1$ равен углу между $EF$ и параллельной ей плоскостью $BCC_1B_1$ — искать проще именно так.

Точка $E$ — середина $AB$, отрезок $EB$ лежит на прямой $AB$, которая перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$. Значит $B$ — ортогональная проекция точки $E$ на эту плоскость, а искомый угол — это $\angle EFB$, где $\tan\angle EFB=\dfrac{EB}{FB}$.

Найдём длины: $EB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.

Точка $F$ — середина $B_1C_1$, значит $B_1F=\dfrac{B_1C_1}{2}=3$ (так как $B_1C_1=AD=6$). В прямоугольном треугольнике $BB_1F$ (угол при $B_1$ прямой, так как $BB_1\perp B_1C_1$): $$FB=\sqrt{BB_1^{2}+B_1F^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.$$

Тогда $$\tan\angle EFB=\frac{EB}{FB}=\frac{3}{5}.$$