Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) SA — высота пирамиды

Чтобы доказать, что SA перпендикулярна плоскости основания, достаточно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости — сторонам AB и AD (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

В треугольнике SAB известны стороны $SA=\sqrt{11}$, $AB=4$, $SB=3\sqrt3$. Проверим теорему Пифагора для наибольшей стороны: $$SB^2=27,\qquad SA^2+AB^2=11+16=27.$$ Равенство выполняется, значит треугольник SAB прямоугольный с прямым углом при вершине A, то есть $SA\perp AB$.

Аналогично в треугольнике SAD: $SA=\sqrt{11}$, $AD=BC=3$, $SD=2\sqrt5$. $$SD^2=20,\qquad SA^2+AD^2=11+9=20.$$ Совпадает — треугольник прямоугольный, $SA\perp AD$.

Поскольку $AB$ и $AD$ — пересекающиеся прямые плоскости ABCD, а SA перпендикулярна каждой из них, то $SA\perp(ABCD)$. Значит SA — высота пирамиды.

б) Угол между SC и плоскостью ASB

Ищем проекцию точки C на плоскость ASB. Так как $CB\perp AB$ (сторона прямоугольника) и $CB\perp SA$ (по доказанному в пункте а)), прямая CB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SAB (AB и SA), значит $CB\perp(SAB)$.

Следовательно, проекцией отрезка SC на плоскость SAB является отрезок SB, а искомый угол между прямой и плоскостью равен углу между SC и его проекцией SB, то есть $\varphi=\angle CSB$.

Треугольник SCB прямоугольный (угол при B прямой, так как $CB\perp(SAB)$, в частности $CB\perp SB$). Тогда $$\tan\varphi=\frac{CB}{SB}=\frac{3}{3\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Отсюда $\varphi=\arctan\dfrac{1}{\sqrt3}=30^\circ$.